Resolva as equações:
(e) . Sugestão: multiplique a equação por .

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Nosso foco aqui é entender como trabalhar com equações diferenciais que envolvem produtos e funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para torná-la mais simples e aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, conforme sugerido, vamos multiplicar toda a equação por para simplificar os termos:
Simplificando, temos:

Passo 3

Vamos reescrever a equação para isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Observamos que a equação é linear na forma , onde:
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Fazendo a substituição , :

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Assim:

Passo 7

Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução da equação diferencial é , onde é uma constante arbitrária.

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