Resolva as equações:
(e)
. Sugestão: multiplique a equação por
.
(e)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Nosso foco aqui é entender como trabalhar com equações diferenciais que envolvem produtos e funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para torná-la mais simples e aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, conforme sugerido, vamos multiplicar toda a equação por
para simplificar os termos:
Simplificando, temos:
Passo 3
Vamos reescrever a equação para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Observamos que a equação é linear na forma
, onde:
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Fazendo a substituição
,
:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Assim:
Passo 7
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.
Mostre que uma equação linear
é exata se
.
Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.
Explique o por que não é possivel aplicar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
sobre a superficie esférica
de equação
.