Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me mandou. O enunciado apresenta duas equações envolvendo derivadas de e . A matéria que precisamos usar aqui é a de equações diferenciais lineares e sistemas de equações lineares, usando métodos como eliminação ou determinantes para encontrar as soluções. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma das variáveis e resolver para a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para ficar mais claro:
Aqui, representa a derivada em relação a uma variável, geralmente tempo . Nosso objetivo é encontrar as funções e que satisfazem ambas as equações.

Passo 3

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação. Primeiro, da segunda equação, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar :

Passo 4

Agora que temos em termos de , vamos substituir essa expressão na primeira equação do sistema:
Simplificando:

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos encontrar um denominador comum e combinar os termos:
Isso nos dá:

Passo 6

Simplificando a equação:
Para que essa equação seja satisfeita, precisamos que , ou seja, . Isso implica que a derivada terceira de é igual a .

Passo 7

Agora, temos a equação diferencial:
A solução geral dessa equação pode ser escrita como uma combinação linear das soluções características. A equação característica associada é:

Passo 8

Resolvendo a equação característica:
Portanto, as soluções são:

Passo 9

Agora que temos , vamos encontrar usando a relação que encontramos anteriormente:
Aplicando a derivada:
A expressão representa a integral de em relação a .

Passo 10

Integrando :
Portanto, a solução para é:

Resposta

As soluções gerais do sistema são:
Onde , , e são constantes de integração.

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quando