Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me mandou. O enunciado apresenta duas equações envolvendo derivadas de
e
. A matéria que precisamos usar aqui é a de equações diferenciais lineares e sistemas de equações lineares, usando métodos como eliminação ou determinantes para encontrar as soluções. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma das variáveis e resolver para a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema para ficar mais claro:
Aqui,
representa a derivada em relação a uma variável, geralmente tempo
. Nosso objetivo é encontrar as funções
e
que satisfazem ambas as equações.
Passo 3
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação. Primeiro, da segunda equação, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar
:
Passo 4
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir essa expressão na primeira equação do sistema:
Simplificando:
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos encontrar um denominador comum e combinar os termos:
Isso nos dá:
Passo 6
Simplificando a equação:
Para que essa equação seja satisfeita, precisamos que
, ou seja,
. Isso implica que a derivada terceira de
é igual a
.
Passo 7
Agora, temos a equação diferencial:
A solução geral dessa equação pode ser escrita como uma combinação linear das soluções características. A equação característica associada é:
Passo 8
Resolvendo a equação característica:
Portanto, as soluções são:
Passo 9
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a relação que encontramos anteriormente:
Aplicando a derivada:
A expressão
representa a integral de
em relação a
.
Passo 10
Integrando
:
Portanto, a solução para
é:
Resposta
As soluções gerais do sistema são:
Onde
,
,
e
são constantes de integração.
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.
Explique o por que não é possivel aplicar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
sobre a superficie esférica
de equação
.
Resolva as equações:
(g) .
(g)
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando