Use a Regra da Cadeia para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=x e^y+y e^-x, x=e^t, y=s t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta de cálculo para derivadas de funções compostas. Aqui, a gente tem uma função que depende de e , e e por sua vez dependem de e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
z = x e^y + y e^-x, x = e^t, y = s t^2
Precisamos expressar e em termos de , , e .

Passo 3

Vamos começar calculando partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s . Usando a Regra da Cadeia:
Agora, vamos encontrar cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Primeiro, calculemos partial zpartial x = e^y - y e^-x e partial zpartial y = x e^y + e^-x :

Passo 5

Agora, precisamos das derivadas de partial xpartial s = 0 (pois x = e^t não depende de s) e partial ypartial s = t^2 em relação a :
ã

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
partial zpartial s = (e^y - y e^-x) cdot 0 + (x e^y + e^-x) cdot t^2
Simplificando:
partial zpartial s = (x e^y + e^-x) t^2

Passo 7

Agora, vamos calcular partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t usando a Regra da Cadeia:

Passo 8

Já encontramos partial xpartial t = e^t e partial ypartial t = 2 s t anteriormente. Vamos agora calcular e :

Passo 9

Substituindo todas as derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
partial zpartial t = (e^y - y e^-x) e^t + (x e^y + e^-x) 2 s t

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = (x e^y + e^-x) t^2
partial zpartial t = (e^y - y e^-x) e^t + (x e^y + e^-x) 2 s t

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