Use a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função usando a regra da cadeia. Essa regra é útil quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Para resolver, vamos identificar as camadas dessa função e derivar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, observe que a função é composta de três camadas principais:
  1. A função externa:
  2. A função intermediária: , onde
  3. A função interna:
Vamos começar derivando a função externa em relação à função intermediária.

Passo 3

A derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia, multiplicamos isso pela derivada da função intermediária :

Passo 4

Agora, vamos derivar a função intermediária em relação a . A derivada de em relação a é . Então, multiplicamos isso pela derivada de :

Passo 5

Vamos derivar . Escrevendo como , a derivada é:

Passo 6

Agora, derivamos . A derivada de em relação a é , então:

Passo 7

Juntando todas as partes, substituímos as derivadas encontradas de volta na expressão original:

Resposta

A derivada da função é:

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Explique por que o ponto é um ponto de mínimo da função . O que acontece com a derivada neste ponto?
Seja $ \vec{u} = (1,2) $ e $ \vec{v} = (2,1) $. Mostre que $ \vec{w} = (a, b) $ é uma combinação linear de $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $.
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(d) .
Prove que a multiplicação de um vetor por um escalar não depende da escolha particular de um segmento orientado que represente o vetor.