Explique porquê a função é descontínua no número
.
b)
, onde
.
b)
Passo 1
Vamos analisar a função
dada no enunciado. A função é definida por partes:
O conteúdo que precisamos usar aqui é o conceito de continuidade de funções. Para verificar se a função é contínua em
, precisamos verificar três condições:
- A função está definida em
. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite da função quando
se aproxima de é igual ao valor da função em .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função está definida em
. Pelo enunciado, quando
,
. Então, a função está definida nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 1. Para isso, analisamos:
Quando
se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1),
é um número positivo que se aproxima de 0, então
tende a
. Já quando
se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1),
é um número negativo que se aproxima de 0, então
tende a
.
Como os limites laterais são diferentes e tendem a infinitos opostos, o limite geral quando
se aproxima de 1 não existe.
Passo 4
Finalmente, comparamos o limite da função com o valor da função em
. Já que o limite não existe, ele não pode ser igual a
.
Resposta
A função
é descontínua em
porque o limite quando
se aproxima de 1 não existe, fazendo com que não haja correspondência entre o limite e o valor da função nesse ponto.
Exercícios relacionados
Mostre que:
c) , onde
c)
Calcule o limite, se existir.
b) .
b)
Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada;
é um inteiro positivo e
é uma constante real.
17. cos
17.
Justifique a continuidade das funções abaixo.
b)
b)