Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada;
é um inteiro positivo e
é uma constante real.
17.
cos
17.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da função
usando integração por partes. A transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma uma função do tempo
para uma função no domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes, que é uma técnica útil para integrar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
Isso significa que, se a gente conseguir separar a integral em duas partes,
e
, podemos simplificar a integração. No nosso caso, queremos integrar
, porque a transformada de Laplace é dada por:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Vamos escolher
e
para aplicar a integração por partes. Uma boa escolha é:
Agora, precisamos calcular
. A integral de
é uma transformação padrão, que resulta em:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a segunda integral:
Essa integral também é uma transformada de Laplace padrão, que resulta em:
Simplificando, temos:
Passo 6
Voltando à expressão original da integração por partes:
No limite quando
tende a infinito, o termo
tende a zero, e quando
, a expressão inteira também é zero. Portanto, o primeiro termo desaparece, restando:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
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Explique porquê a função é descontínua no número
.
b) , onde
.
b)
Mostre que:
c) , onde
c)
Justifique a continuidade das funções abaixo.
b)
b)
Encontre o limite.
d) .
d)