Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; é um inteiro positivo e é uma constante real.
17. cos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da função usando integração por partes. A transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma uma função do tempo para uma função no domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes, que é uma técnica útil para integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
Isso significa que, se a gente conseguir separar a integral em duas partes, e , podemos simplificar a integração. No nosso caso, queremos integrar , porque a transformada de Laplace é dada por:
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Vamos escolher e para aplicar a integração por partes. Uma boa escolha é:
Agora, precisamos calcular . A integral de é uma transformação padrão, que resulta em:

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a segunda integral:
Essa integral também é uma transformada de Laplace padrão, que resulta em:
Simplificando, temos:

Passo 6

Voltando à expressão original da integração por partes:
No limite quando tende a infinito, o termo tende a zero, e quando , a expressão inteira também é zero. Portanto, o primeiro termo desaparece, restando:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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Explique porquê a função é descontínua no número .
b) , onde .
Mostre que:
c) , onde
Justifique a continuidade das funções abaixo.
b)
Encontre o limite.
d) .