Seja . Qual o domínio da função ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função definida por uma série infinita e pede para descobrir qual é o domínio dessa função. Isso envolve entender séries de potências e como determinar onde elas convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências que define :
Aqui, a série tem a forma geral:
onde .

Passo 3

Para encontrar o domínio de , precisamos descobrir para quais valores de essa série converge. Uma das melhores ferramentas para isso é o teste da razão (ou critério da raiz).

Passo 4

Vamos aplicar o teste da razão. Neste método, calculamos o limite:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Para que a série convirja, o limite deve ser menor que 1:
Resolvendo a desigualdade:
Isso significa que a série converge para valores de entre -5 e 5.

Passo 6

Além disso, precisamos verificar o comportamento nos extremos e .
Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Para :
Essa é a série harmônica divergente, mas devido ao fator alternado, na verdade, ela também converge (série alternada condicionalmente convergente).

Resposta

O domínio da função é .

Exercícios relacionados

O raio e intervalo de convergência da série de potências é:
e
Seja . Qual o domínio da função ?
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização da função no ponto.
no ponto .