Seja f(x)=sumn=1^+infty (-1)^n+1n 5^n x^n. Qual o domínio da função f ?
D(f)=[-5,5]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função definida por uma série infinita e pede para descobrir qual é o domínio dessa função. Isso envolve entender séries de potências e como determinar onde elas convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências que define f(x) = sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n x^n :
sumn=1^+infty an x^n
Aqui, a série tem a forma geral:
onde .

Passo 3

Para encontrar o domínio de , precisamos descobrir para quais valores de essa série converge. Uma das melhores ferramentas para isso é o teste da razão (ou critério da raiz).

Passo 4

Vamos aplicar o teste da razão. Neste método, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1 x^n+1an x^n |
Substituindo L = limn to infty | (-1)^(n+1)+1(n+1) cdot 5^n+1 x^n+1(-1)^n+1n cdot 5^n x^n | :
L = limn to infty | nn+1 cdot x5 | = | x5 |
Simplificando:

Passo 5

Para que a série convirja, o limite | x5 | < 1 deve ser menor que 1:
|x| < 5 Rightarrow -5 < x < 5
Resolvendo a desigualdade:
Isso significa que a série converge para valores de entre -5 e 5.

Passo 6

Além disso, precisamos verificar o comportamento nos extremos f(5) = sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n cdot 5^n = sumn=1^+infty (-1)^n+1n e f(-5) = sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n cdot (-5)^n = sumn=1^+infty 1n (-1)^2n+1 = -sumn=1^+infty 1n .
Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Para :
Essa é a série harmônica divergente, mas devido ao fator alternado, na verdade, ela também converge (série alternada condicionalmente convergente).

Resposta

O domínio da função é .

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