Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma série infinita:
A pergunta é: qual é o domínio dessa função ? Ou seja, quais valores de tornam essa série convergente e a função bem definida.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa o domínio de uma função definida por uma série infinita. O domínio será o conjunto de todos os valores de para os quais a série converge. Para descobrir isso, vamos determinar o raio de convergência da série.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para encontrar o raio de convergência . Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série vai convergir.
A regra do Teste da Razão é:
onde é o termo geral da série.
Passo 4
Vamos identificar an = (-1)^n+1n cdot 5^n x^n na nossa série:
Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty n5(n+1) cdot |x| = limn to infty 15 cdot nn+1 cdot |x| = 15 cdot 1 cdot |x| = |x|5 tende ao infinito:
|x|5 < 1
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
|x| < 5
Passo 6
O que acabamos de encontrar é o raio de convergência -5 < x < 5 . Isso significa que a série converge para todos os tais que . Logo, o intervalo de convergência é:
Passo 7
No entanto, precisamos verificar os pontos finais f(5) = sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n cdot 5^n = sumn=1^+infty (-1)^n+1n e f(-5) = sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n cdot (-5)^n = sumn=1^+infty (-1)^n+1 cdot (-1)^nn = sumn=1^+infty 1n para determinar se estão incluídos no domínio.