Seja f(x)=sumn=1^+infty (-1)^n+1n 5^n x^n. Qual o domínio da função f ?
D(f)=(-15, 15]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma série infinita:
f(x) = sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n x^n
A pergunta é: qual é o domínio dessa função ? Ou seja, quais valores de tornam essa série convergente e a função bem definida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa o domínio de uma função definida por uma série infinita. O domínio será o conjunto de todos os valores de para os quais a série converge. Para descobrir isso, vamos determinar o raio de convergência da série.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para encontrar o raio de convergência limn to infty | an+1an | < 1 . Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série vai convergir.
A regra do Teste da Razão é:
onde é o termo geral da série.

Passo 4

Vamos identificar an = (-1)^n+1n cdot 5^n x^n na nossa série:
an+1an = (-1)^(n+1)+1(n+1) cdot 5^n+1 x^n+1 (-1)^n+1n cdot 5^n x^n
Agora, vamos calcular an+1an = (-1)^n+2 cdot n cdot 5^n(n+1) cdot 5^n+1 cdot x :
= -1 cdot n (n+1) cdot 5 cdot x
Simplificando:
= -n 5(n+1) cdot x
| an+1an | = | n5(n+1) cdot x | = n5(n+1) cdot |x|
Como estamos interessados no valor absoluto:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty n5(n+1) cdot |x| = limn to infty 15 cdot nn+1 cdot |x| = 15 cdot 1 cdot |x| = |x|5 tende ao infinito:
|x|5 < 1
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
|x| < 5

Passo 6

O que acabamos de encontrar é o raio de convergência -5 < x < 5 . Isso significa que a série converge para todos os tais que . Logo, o intervalo de convergência é:

Passo 7

No entanto, precisamos verificar os pontos finais f(5) = sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n cdot 5^n = sumn=1^+infty (-1)^n+1n e f(-5) = sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n cdot (-5)^n = sumn=1^+infty (-1)^n+1 cdot (-1)^nn = sumn=1^+infty 1n para determinar se estão incluídos no domínio.
Vamos avaliar a série nesses pontos:
  • Para :
Isso é a série alternada harmônica, que converge.
  • Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

Então, o domínio da função D(f) = ( -5, 5 ] é:

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