Seja . Qual o domínio da função ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma série infinita:
A pergunta é: qual é o domínio dessa função ? Ou seja, quais valores de tornam essa série convergente e a função bem definida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa o domínio de uma função definida por uma série infinita. O domínio será o conjunto de todos os valores de para os quais a série converge. Para descobrir isso, vamos determinar o raio de convergência da série.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para encontrar o raio de convergência . Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série vai convergir.
A regra do Teste da Razão é:
onde é o termo geral da série.

Passo 4

Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :
Simplificando:
Como estamos interessados no valor absoluto:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:

Passo 6

O que acabamos de encontrar é o raio de convergência . Isso significa que a série converge para todos os tais que . Logo, o intervalo de convergência é:

Passo 7

No entanto, precisamos verificar os pontos finais e para determinar se estão incluídos no domínio.
Vamos avaliar a série nesses pontos:
  • Para :
Isso é a série alternada harmônica, que converge.
  • Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

Então, o domínio da função é:

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Seja . Qual o domínio da função ?
O raio e intervalo de convergência da série de potências é:
e
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização da função no ponto.
no ponto .
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização da função no ponto.
no ponto .