Explique o porquê que a função
não possui transformada de Laplace. Dê exemplo de uma função
tal que
tenha transformada de Laplace. Existe alguma função
, que possua transformada de Laplace, com esta mesma propriedade?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática muito usada para resolver equações diferenciais. Precisamos entender por que a função
não possui transformada de Laplace. Além disso, vamos encontrar uma função
tal que o produto
possua transformada de Laplace. Também vamos ver se existe alguma função
que já tenha transformada de Laplace e que cumpra essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Para que essa integral exista, a função
precisa ser bem comportada no intervalo de integração, ou seja, não pode ter singularidades (pontos onde a função “explode” ou não está definida) e deve crescer mais devagar que exponencialmente.
No caso da função
, sabemos que a tangente tem assíntotas verticais em
, onde
é qualquer inteiro. Isso significa que
tende ao infinito nessas pontas. Por causa dessas assíntotas, a integral da transformada de Laplace:
não converge, ou seja, não resulta em um valor finito. Portanto,
não possui transformada de Laplace.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma função
que, quando multiplicada por
, resulte em uma função
que possui transformada de Laplace. Para isso, precisamos que
anule as assíntotas de
.
Uma escolha inteligente é usar
. Sabemos que:
A função
é muito bem comportada: não tem assíntotas e cresce de forma oscilatória limitada. Além disso, sabemos que a transformada de Laplace de
existe e é dada por:
Portanto,
faz com que
possua transformada de Laplace.
Além disso,
já possui transformada de Laplace, como vimos. Isso significa que existe, sim, uma função
que cumpre todas as condições pedidas: ela própria tem transformada de Laplace e, quando multiplicada por
, o produto também possui transformada de Laplace.
Resposta
A função
faz com que
possua transformada de Laplace. Além disso,
já possui transformada de Laplace, atendendo assim a todas as condições da questão.
Exercícios relacionados
Sejam
uma função contínua por partes e
um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função
que é definida pela seguinte propriedade:
Encontre a solução do PVI:
.
Use a transformada de Laplace para calcular o valor da integral imprópria
.
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Resposta:
.
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.