Explique o porquê que a função não possui transformada de Laplace. Dê exemplo de uma função tal que tenha transformada de Laplace. Existe alguma função , que possua transformada de Laplace, com esta mesma propriedade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática muito usada para resolver equações diferenciais. Precisamos entender por que a função não possui transformada de Laplace. Além disso, vamos encontrar uma função tal que o produto possua transformada de Laplace. Também vamos ver se existe alguma função que já tenha transformada de Laplace e que cumpra essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
Para que essa integral exista, a função precisa ser bem comportada no intervalo de integração, ou seja, não pode ter singularidades (pontos onde a função “explode” ou não está definida) e deve crescer mais devagar que exponencialmente.
No caso da função , sabemos que a tangente tem assíntotas verticais em , onde é qualquer inteiro. Isso significa que tende ao infinito nessas pontas. Por causa dessas assíntotas, a integral da transformada de Laplace:
não converge, ou seja, não resulta em um valor finito. Portanto, não possui transformada de Laplace.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma função que, quando multiplicada por , resulte em uma função que possui transformada de Laplace. Para isso, precisamos que anule as assíntotas de .
Uma escolha inteligente é usar . Sabemos que:
A função é muito bem comportada: não tem assíntotas e cresce de forma oscilatória limitada. Além disso, sabemos que a transformada de Laplace de existe e é dada por:
Portanto, faz com que possua transformada de Laplace.
Além disso, já possui transformada de Laplace, como vimos. Isso significa que existe, sim, uma função que cumpre todas as condições pedidas: ela própria tem transformada de Laplace e, quando multiplicada por , o produto também possui transformada de Laplace.

Resposta

A função faz com que possua transformada de Laplace. Além disso, já possui transformada de Laplace, atendendo assim a todas as condições da questão.

Exercícios relacionados

Sejam uma função contínua por partes e um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função que é definida pela seguinte propriedade:
Encontre a solução do PVI: .
Use a transformada de Laplace para calcular o valor da integral imprópria .
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Resposta: .
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
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