Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando o método das transformadas de Laplace. A matéria envolvida aqui são as equações diferenciais lineares de segunda ordem e as transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e resolver para , que é a transformada de .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Isso resulta em:

Passo 3

Agora, usamos as propriedades da transformada de Laplace para as derivadas:
Substituindo na equação:

Passo 4

Substituímos os valores iniciais e :
Expandindo:

Passo 5

Agrupamos os termos que contêm e os termos constantes:
Isolamos :

Passo 6

Fatoramos o denominador:
Então,

Passo 7

Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvemos para e :
Igualando os coeficientes:
Subtraindo as equações:
E então:

Passo 8

Substituímos os valores de e :
Simplificamos:

Passo 9

Aplicamos a transformada inversa de Laplace:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Resposta: .
Explique o porquê que a função não possui transformada de Laplace. Dê exemplo de uma função tal que tenha transformada de Laplace. Existe alguma função , que possua transformada de Laplace, com esta mesma propriedade?
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Seja . Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;