Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método das transformadas de Laplace. A matéria envolvida aqui são as equações diferenciais lineares de segunda ordem e as transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e resolver para
, que é a transformada de
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Isso resulta em:
Passo 3
Agora, usamos as propriedades da transformada de Laplace para as derivadas:
Substituindo na equação:
Passo 4
Substituímos os valores iniciais
e
:
Expandindo:
Passo 5
Agrupamos os termos que contêm
e os termos constantes:
Isolamos
:
Passo 6
Fatoramos o denominador:
Então,
Passo 7
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvemos para
e
:
Igualando os coeficientes:
Subtraindo as equações:
E então:
Passo 8
Substituímos os valores de
e
:
Simplificamos:
Passo 9
Aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Resposta
A solução da equação diferencial é: