Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das transformadas de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformadas de Laplace para transformar a equação diferencial no domínio da frequência, resolver para
e depois aplicar a transformada inversa para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, substituímos os valores das condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 4
Agrupamos os termos que contêm
e os termos constantes:
Simplificando os constantes:
Passo 5
Isolamos
:
Passo 6
Fatoramos o denominador
:
Então, temos:
Passo 7
Agora, fazemos a decomposição em frações parciais para cada termo:
Para o primeiro termo:
Resolvendo para
, encontramos:
Então:
Para o segundo termo:
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então:
Passo 8
Agora, juntamos tudo:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Resposta
Exercícios relacionados
Explique o porquê que a função
não possui transformada de Laplace. Dê exemplo de uma função
tal que
tenha transformada de Laplace. Existe alguma função
, que possua transformada de Laplace, com esta mesma propriedade?
Sejam
uma função contínua por partes e
um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função
que é definida pela seguinte propriedade:
Encontre a solução do PVI:
.
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial: