Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
y'' - 5y' + 4y = e^(2t) ; y(0) = 1, y'(0) = -1 Resposta: y(t) = 2 e^t - 1/2 e^(4 t) + 1/2 e^2 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das transformadas de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformadas de Laplace para transformar a equação diferencial no domínio da frequência, resolver para e depois aplicar a transformada inversa para encontrar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Agora, substituímos os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 4

Agrupamos os termos que contêm e os termos constantes:
Simplificando os constantes:

Passo 5

Isolamos :

Passo 6

Fatoramos o denominador :
Então, temos:

Passo 7

Agora, fazemos a decomposição em frações parciais para cada termo:
Para o primeiro termo:
Resolvendo para , encontramos:
Então:
Para o segundo termo:
Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então:

Passo 8

Agora, juntamos tudo:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:

Resposta

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