Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das transformadas de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformadas de Laplace para transformar a equação diferencial no domínio da frequência, resolver para e depois aplicar a transformada inversa para encontrar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Agora, substituímos os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 4

Agrupamos os termos que contêm e os termos constantes:
Simplificando os constantes:

Passo 5

Isolamos :

Passo 6

Fatoramos o denominador :
Então, temos:

Passo 7

Agora, fazemos a decomposição em frações parciais para cada termo:
Para o primeiro termo:
Resolvendo para , encontramos:
Então:
Para o segundo termo:
Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então:

Passo 8

Agora, juntamos tudo:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:

Resposta

Exercícios relacionados

Explique o porquê que a função não possui transformada de Laplace. Dê exemplo de uma função tal que tenha transformada de Laplace. Existe alguma função , que possua transformada de Laplace, com esta mesma propriedade?
Sejam uma função contínua por partes e um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função que é definida pela seguinte propriedade:
Encontre a solução do PVI: .
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial: