Use a transformada de Laplace para calcular o valor da integral imprópria .

Passo 1

Vamos resolver a integral imprópria usando a transformada de Laplace. O conteúdo envolvido inclui a aplicação da transformada de Laplace em funções que combinam exponenciais e cossenos, além de utilizar propriedades de derivação das transformadas de funções multiplicadas por .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a transformada de Laplace de é dada por:
Aqui, .

Passo 3

Como temos um fator multiplicando a função, usamos a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace:
onde é a transformada de Laplace de , e no nosso caso.

Passo 4

Aplicando essa propriedade, a transformada de Laplace de é:

Passo 5

Agora, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas por :
onde é a transformada de Laplace de . Aplicando isso à nossa função:

Passo 6

Calculando a derivada:
Simplificando:

Passo 7

Portanto, a transformada de Laplace de é:

Passo 8

Para encontrar o valor da integral, avaliamos a transformada em :
Calculando os valores:

Resposta

Exercícios relacionados

Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
. Resposta: ;
Seja . Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
.
Sejam uma função contínua por partes e um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função que é definida pela seguinte propriedade:
Encontre a solução do PVI: .
Explique o porquê que a função não possui transformada de Laplace. Dê exemplo de uma função tal que tenha transformada de Laplace. Existe alguma função , que possua transformada de Laplace, com esta mesma propriedade?