Use a transformada de Laplace para calcular o valor da integral imprópria integral0^infty t e^-2 t cos 3 t d t.

Passo 1

Vamos resolver a integral imprópria integral0^infty t e^-2 t cos 3 t , dt usando a transformada de Laplace. O conteúdo envolvido inclui a aplicação da transformada de Laplace em funções que combinam exponenciais e cossenos, além de utilizar propriedades de derivação das transformadas de funções multiplicadas por t.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a transformada de Laplace de cos(bt) é dada por:
Lcos(bt)(s) = ss^2 + b^2
Aqui, b = 3.

Passo 3

Como temos um fator e^-2 t multiplicando a função, usamos a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace:
Le^-a t f(t)(s) = F(s + a)
onde F(s) é a transformada de Laplace de f(t), e a = 2 no nosso caso.

Passo 4

Aplicando essa propriedade, a transformada de Laplace de e^-2 t cos(3t) é:
Le^-2 t cos(3t)(s) = s + 2(s + 2)^2 + 9

Passo 5

Agora, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas por t:
Lt f(t)(s) = -ddsF(s)
onde F(s) é a transformada de Laplace de f(t). Aplicando isso à nossa função:
Lt e^-2 t cos(3t)(s) = -dds(s + 2(s + 2)^2 + 9)

Passo 6

Calculando a derivada:
dds(s + 2(s + 2)^2 + 9) = [(1)(s + 2)^2 + 9] - (s + 2)(2)(s + 2)[(s + 2)^2 + 9]^2
Simplificando:
= (s + 2)^2 + 9 - 2(s + 2)^2[(s + 2)^2 + 9]^2 = 9 - (s + 2)^2[(s + 2)^2 + 9]^2

Passo 7

Portanto, a transformada de Laplace de t e^-2 t cos(3t) é:
Lt e^-2 t cos(3t)(s) = -9 - (s + 2)^2[(s + 2)^2 + 9]^2

Passo 8

Para encontrar o valor da integral, avaliamos a transformada em s = 0:
integral0^infty t e^-2 t cos 3 t , dt = Lt e^-2 t cos(3t)(0) = -9 - (0 + 2)^2[(0 + 2)^2 + 9]^2
Calculando os valores:
= -9 - 4(4 + 9)^2 = -5169

Resposta

integral0^infty t e^-2 t cos 3 t , dt = -5169

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