Use a transformada de Laplace para calcular o valor da integral imprópria
.
Passo 1
Vamos resolver a integral imprópria
usando a transformada de Laplace. O conteúdo envolvido inclui a aplicação da transformada de Laplace em funções que combinam exponenciais e cossenos, além de utilizar propriedades de derivação das transformadas de funções multiplicadas por
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a transformada de Laplace de
é dada por:
Aqui,
.
Passo 3
Como temos um fator
multiplicando a função, usamos a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace:
onde
é a transformada de Laplace de
, e
no nosso caso.
Passo 4
Aplicando essa propriedade, a transformada de Laplace de
é:
Passo 5
Agora, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas por
:
onde
é a transformada de Laplace de
. Aplicando isso à nossa função:
Passo 6
Calculando a derivada:
Simplificando:
Passo 7
Portanto, a transformada de Laplace de
é:
Passo 8
Para encontrar o valor da integral, avaliamos a transformada em
:
Calculando os valores:
Resposta
Exercícios relacionados
Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
. Resposta:
;
Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
.
Sejam
uma função contínua por partes e
um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função
que é definida pela seguinte propriedade:
Encontre a solução do PVI:
.
Explique o porquê que a função
não possui transformada de Laplace. Dê exemplo de uma função
tal que
tenha transformada de Laplace. Existe alguma função
, que possua transformada de Laplace, com esta mesma propriedade?