Use a transformada de Laplace para calcular o valor da integral imprópria
.
Passo 1
Vamos resolver a integral imprópria
usando a transformada de Laplace. O conteúdo envolvido inclui a aplicação da transformada de Laplace em funções que combinam exponenciais e cossenos, além de utilizar propriedades de derivação das transformadas de funções multiplicadas por
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a transformada de Laplace de
é dada por:
Aqui,
.
Passo 3
Como temos um fator
multiplicando a função, usamos a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace:
onde
é a transformada de Laplace de
, e
no nosso caso.
Passo 4
Aplicando essa propriedade, a transformada de Laplace de
é:
Passo 5
Agora, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas por
:
onde
é a transformada de Laplace de
. Aplicando isso à nossa função:
Passo 6
Calculando a derivada:
Simplificando:
Passo 7
Portanto, a transformada de Laplace de
é:
Passo 8
Para encontrar o valor da integral, avaliamos a transformada em
:
Calculando os valores: