Sejam uma função contínua por partes e um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função que é definida pela seguinte propriedade:
Encontre a solução do PVI: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem que envolve o delta de Dirac, também conhecido como impulso unitário. A equação é:
com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais, funções contínuas por partes e o delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , e é a função delta de Dirac centrada em .

Passo 3

Vamos entender o que é o delta de Dirac. A função é uma função especial que é zero em todos os lugares, exceto em , onde ela “explode” de forma que a integral dela em torno de é igual a 1. Matematicamente, temos:
Isso significa que quando multiplicamos pela delta de Dirac, estamos “puxando” o valor da função no ponto .

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação diferencial. A equação é homogênea, exceto pela presença do termo com o delta de Dirac. A solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Para encontrar a solução particular devido ao delta de Dirac, vamos usar a propriedade do impulso. O termo efetivamente “inicia” uma resposta na equação diferencial exatamente em .
A resposta particular será zero para e, para , será uma resposta impulsiva. Usando a propriedade do delta, temos:
Simplificando:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais e para encontrar e .
Primeiro, para :
Como , , e , temos:
Agora, derivando :
Aplicando :
Sabendo que , , e :

Passo 8

Substituindo e na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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. Resposta: ;
Explique o porquê que a função não possui transformada de Laplace. Dê exemplo de uma função tal que tenha transformada de Laplace. Existe alguma função , que possua transformada de Laplace, com esta mesma propriedade?
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Resposta: .