Sejam
uma função contínua por partes e
um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função
que é definida pela seguinte propriedade:
Encontre a solução do PVI:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem que envolve o delta de Dirac, também conhecido como impulso unitário. A equação é:
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais, funções contínuas por partes e o delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
, e
é a função delta de Dirac centrada em
.
Passo 3
Vamos entender o que é o delta de Dirac. A função
é uma função especial que é zero em todos os lugares, exceto em
, onde ela “explode” de forma que a integral dela em torno de
é igual a 1. Matematicamente, temos:
Isso significa que quando multiplicamos pela delta de Dirac, estamos “puxando” o valor da função no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação diferencial. A equação é homogênea, exceto pela presença do termo com o delta de Dirac. A solução geral da equação homogênea
é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Para encontrar a solução particular devido ao delta de Dirac, vamos usar a propriedade do impulso. O termo
efetivamente “inicia” uma resposta na equação diferencial exatamente em
.
A resposta particular
será zero para
e, para
, será uma resposta impulsiva. Usando a propriedade do delta, temos:
Simplificando:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Como
,
, e
, temos:
Agora, derivando
:
Aplicando
:
Sabendo que
,
, e
:
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: