Sejam f:[0, infty) R uma função contínua por partes e t0 >= 0 um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função de que é definida pela seguinte propriedade:
integral0^infty f(t) de
Encontre a solução do PVI: y^prime prime+4 y=4 de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem que envolve o delta de Dirac, também conhecido como impulso unitário. A equação é:
y'' + 4y = 4 de
com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais, funções contínuas por partes e o delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
y'' + 4y = 4 de
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , e é a função delta de Dirac centrada em .

Passo 3

Vamos entender o que é o delta de Dirac. A função integral0^infty f(t) de é uma função especial que é zero em todos os lugares, exceto em , onde ela “explode” de forma que a integral dela em torno de é igual a 1. Matematicamente, temos:
Isso significa que quando multiplicamos pela delta de Dirac, estamos “puxando” o valor da função no ponto .

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação diferencial. A equação é homogênea, exceto pela presença do termo com o delta de Dirac. A solução geral da equação homogênea yh(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t) é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Para encontrar a solução particular devido ao delta de Dirac, vamos usar a propriedade do impulso. O termo yp(t) = 4 sin(pi6) cdot sin(2(t - pi6))2 efetivamente “inicia” uma resposta na equação diferencial exatamente em yp(t) = 2 cdot 12 sin(2t - pi3) = sin(2t - pi3) .
A resposta particular será zero para e, para , será uma resposta impulsiva. Usando a propriedade do delta, temos:
Simplificando:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t) + sin(2t - pi3)

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais 0 = C1 cos(0) + C2 sin(0) + sin(-pi3) e 0 = C1 - raiz32 implies C1 = raiz32 para encontrar y'(t) = -2C1 sin(2t) + 2C2 cos(2t) + 2 cos(2t - pi3) e 0 = -2C1 sin(0) + 2C2 cos(0) + 2 cos(-pi3) .
Primeiro, para 0 = 0 + 2C2 + 2 cdot 12 implies 2C2 + 1 = 0 implies C2 = -12 :
Como , , e , temos:
Agora, derivando :
Aplicando :
Sabendo que , , e :

Passo 8

Substituindo y(t) = raiz32 cos(2t) - 12 sin(2t) + sin(2t - pi3) e na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = raiz32 cos(2t) - 12 sin(2t) + sin(2t - pi3)

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