Explique por que as seguintes fun, c〜oes s ao descont

,
2,

e) .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos várias funções e precisamos explicar por que elas são ou não descontínuas em determinados pontos. O conteúdo envolvido aqui é a continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como verificar essa propriedade usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. Existência de : A função está definida em .
  2. Existência do limite de quando se aproxima de : existe.
  3. Igualdade entre o limite e o valor da função em : .
Se qualquer uma dessas condições não for atendida, a função é descontínua em .

Passo 3

Vamos aplicar esses conceitos à primeira função:
a) , para em
  1. Existência de :
    A função está definida em 0.
  2. Existência do limite quando :
    O limite existe e é igual a 0.
  3. Igualdade entre o limite e :
    As duas quantidades são iguais.
Como todas as condições são satisfeitas, a função é contínua em .

Passo 4

Vamos analisar a próxima função:
b)
Parece que há uma pequena confusão na notação, mas supondo que a função seja :
  1. Existência de : A função é um polinômio, portanto está definida para todo , incluindo o ponto de interesse.
  2. Existência do limite quando :
    O limite existe.
  3. Igualdade entre o limite e :
    As duas quantidades são iguais.
Portanto, é contínua em qualquer ponto .

Passo 5

Vamos para a função seguinte:
c) , em ; e , em
Primeiro, analisamos em :
  1. Existência de :
    A função está definida em 1.
  2. Existência do limite quando :
    O limite existe.
  3. Igualdade entre o limite e :
    Igualdade confirmada.
Então, é contínua em .
Agora, para em :
  1. Existência de :
    A função está definida em 1.
  2. Existência do limite quando :
    O limite existe.
  3. Igualdade entre o limite e :
    Igualdade confirmada.
Portanto, também é contínua em .

Resposta

Todas as funções analisadas são contínuas nos pontos especificados. Especificamente:
a) é contínua em .
b) é contínua em todo ponto .
c) Tanto quanto são contínuas em .

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.
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