Explique por que as seguintes fun, c〜oes s ao descont ,
2,
e) .
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos várias funções e precisamos explicar por que elas são ou não descontínuas em determinados pontos. O conteúdo envolvido aqui é a continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como verificar essa propriedade usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
Existência de : A função está definida em .
Existência do limite de quando se aproxima de : existe.
Igualdade entre o limite e o valor da função em : .
Se qualquer uma dessas condições não for atendida, a função é descontínua em .
Passo 3
Vamos aplicar esses conceitos à primeira função:
a) , para em
Existência de :
A função está definida em 0.
Existência do limite quando :
O limite existe e é igual a 0.
Igualdade entre o limite e :
As duas quantidades são iguais.
Como todas as condições são satisfeitas, a função é contínua em .
Passo 4
Vamos analisar a próxima função:
b)
Parece que há uma pequena confusão na notação, mas supondo que a função seja :
Existência de : A função é um polinômio, portanto está definida para todo , incluindo o ponto de interesse.
Existência do limite quando :
O limite existe.
Igualdade entre o limite e :
As duas quantidades são iguais.
Portanto, é contínua em qualquer ponto .
Passo 5
Vamos para a função seguinte:
c) , em ; e , em
Primeiro, analisamos em :
Existência de :
A função está definida em 1.
Existência do limite quando :
O limite existe.
Igualdade entre o limite e :
Igualdade confirmada.
Então, é contínua em .
Agora, para em :
Existência de :
A função está definida em 1.
Existência do limite quando :
O limite existe.
Igualdade entre o limite e :
Igualdade confirmada.
Portanto, também é contínua em .
Resposta
Todas as funções analisadas são contínuas nos pontos especificados. Especificamente: