Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três conjuntos , e , e a proposição é comparar duas maneiras de combinar esses conjuntos usando uniões ( ) e interseções ( ). O objetivo é verificar se a igualdade é sempre verdadeira ou não. Para isso, vamos precisar entender as operações de união e interseção e como elas se comportam nos conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são união e interseção:
  • União ( ): A união de dois conjuntos e inclui todos os elementos que estão em , em ou em ambos.
  • Interseção ( ): A interseção de dois conjuntos e inclui apenas os elementos que estão simultaneamente em e em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a igualdade proposta:
Para verificar se isso é sempre verdadeiro, podemos tentar provar que os dois lados são iguais ou encontrar um exemplo onde eles diferem.

Passo 4

Tentando uma prova geral:
Vamos ver se, para qualquer elemento , ele pertence a se e somente se pertence a .
  1. Suponha que . Então, ou ou .
    • Se , então pertence a ou a dependendo de onde mais estiver, então .
    • Se , mas não necessariamente em , então para estar em , precisaria estar também em , o que nem sempre acontece.
Isso mostra que a igualdade pode não ser sempre verdadeira.

Passo 5

Exemplo de contraexemplo:
Vamos escolher conjuntos específicos onde a igualdade não se sustenta.
  • Seja
  • Seja
  • Seja
Vamos calcular ambos os lados da igualdade:
  1. Lado esquerdo:
  2. Lado direito:
    • (já que 1 não está em )
Aqui, , então a igualdade não se mantém.

Resposta

A igualdade não é sempre verdadeira. Um contraexemplo é:
Neste caso, enquanto , mostrando que os dois lados da igualdade não são iguais.

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Explique por que as seguintes funções são descontínuas no número dado: em