Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três conjuntos
,
e
, e a proposição é comparar duas maneiras de combinar esses conjuntos usando uniões (
) e interseções (
). O objetivo é verificar se a igualdade
é sempre verdadeira ou não. Para isso, vamos precisar entender as operações de união e interseção e como elas se comportam nos conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são união e interseção:
-
União (
): A união de dois conjuntos e inclui todos os elementos que estão em , em ou em ambos. -
Interseção (
): A interseção de dois conjuntos e inclui apenas os elementos que estão simultaneamente em e em .
Passo 3
Agora, vamos analisar a igualdade proposta:
Para verificar se isso é sempre verdadeiro, podemos tentar provar que os dois lados são iguais ou encontrar um exemplo onde eles diferem.
Passo 4
Tentando uma prova geral:
Vamos ver se, para qualquer elemento
, ele pertence a
se e somente se pertence a
.
- Suponha que
. Então, ou ou . - Se
, então pertence a ou a dependendo de onde mais estiver, então . - Se
, mas não necessariamente em , então para estar em , precisaria estar também em , o que nem sempre acontece.
- Se
Isso mostra que a igualdade pode não ser sempre verdadeira.
Passo 5
Exemplo de contraexemplo:
Vamos escolher conjuntos específicos onde a igualdade não se sustenta.
- Seja
- Seja
- Seja
Vamos calcular ambos os lados da igualdade:
-
Lado esquerdo:
-
-
Lado direito:
-
-
(já que 1 não está em ) -
-
Aqui,
, então a igualdade não se mantém.
Resposta
A igualdade
não é sempre verdadeira. Um contraexemplo é:
Neste caso,
enquanto
, mostrando que os dois lados da igualdade não são iguais.
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Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
Sejam
e
conjuntos. Prove as seguintes proposições:
.
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para provar que as funções a seguir são contínuas no ponto
.
Explique por que as seguintes funções são descontínuas no número dado:
em