Explique se as sequências abaixo são limitadas inferiomente e/ou superiormente, e conclua se elas são ou não limitadas.
, em que .

Passo 1

Vamos analisar a sequência , onde é um número real. O objetivo é determinar se essa sequência é limitada inferiormente e/ou superiormente, e concluir se ela é ou não limitada. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades de números reais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada superiormente se existe um número real que é maior ou igual a todos os termos da sequência. Da mesma forma, é limitada inferiormente se existe um número real que é menor ou igual a todos os termos da sequência. Se a sequência é limitada tanto superiormente quanto inferiormente, dizemos que ela é limitada.

Passo 3

Vamos analisar os diferentes casos para :
  1. Caso :
    • Quando o valor absoluto de é menor que 1, os termos da sequência tendem a 0 conforme aumenta.
    • Isso significa que a sequência é limitada superiormente por 1 e inferiormente por -1 (se for negativo).
    • Portanto, a sequência é limitada.
  2. Caso :
    • Se , a sequência é constante:
      • Nesse caso, a sequência é limitada superiormente e inferiormente por 1.
    • Se , a sequência alterna entre -1 e 1:
      • Aqui, a sequência também é limitada superiormente por 1 e inferiormente por -1.
  3. Caso :
    • Quando o valor absoluto de é maior que 1, os termos da sequência crescem sem limite conforme aumenta.
    • Se , a sequência tende para .
    • Se , a sequência alterna entre valores que tendem para e .
    • Neste caso, a sequência não é limitada superiormente nem inferiormente.

Resposta

A sequência é limitada quando e não é limitada quando . Portanto, a sequência é limitada se o valor absoluto de for menor ou igual a 1, e não é limitada se for maior que 1.

Exercícios relacionados

Verifique se os campos a seguir são conservativos:
Explique se as sequências abaixo são limitadas inferiomente e/ou superiormente, e conclua se elas são ou não limitadas.
Prove as relações:
;
Calcule, caso exista, , sendo igual a: