Explique se as sequências abaixo são limitadas inferiomente e/ou superiormente, e conclua se elas são ou não limitadas.
, em que
.
Passo 1
Vamos analisar a sequência
, onde
é um número real. O objetivo é determinar se essa sequência é limitada inferiormente e/ou superiormente, e concluir se ela é ou não limitada. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades de números reais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada superiormente se existe um número real que é maior ou igual a todos os termos da sequência. Da mesma forma, é limitada inferiormente se existe um número real que é menor ou igual a todos os termos da sequência. Se a sequência é limitada tanto superiormente quanto inferiormente, dizemos que ela é limitada.
Passo 3
Vamos analisar os diferentes casos para
:
-
Caso
: - Quando o valor absoluto de
é menor que 1, os termos da sequência tendem a 0 conforme aumenta. - Isso significa que a sequência é limitada superiormente por 1 e inferiormente por -1 (se
for negativo). - Portanto, a sequência é limitada.
- Quando o valor absoluto de
-
Caso
: - Se
, a sequência é constante: - Nesse caso, a sequência é limitada superiormente e inferiormente por 1.
- Se
, a sequência alterna entre -1 e 1: - Aqui, a sequência também é limitada superiormente por 1 e inferiormente por -1.
- Se
-
Caso
: - Quando o valor absoluto de
é maior que 1, os termos da sequência crescem sem limite conforme aumenta. - Se
, a sequência tende para . - Se
, a sequência alterna entre valores que tendem para e . - Neste caso, a sequência não é limitada superiormente nem inferiormente.
- Quando o valor absoluto de
Resposta
A sequência
é limitada quando
e não é limitada quando
. Portanto, a sequência é limitada se o valor absoluto de
for menor ou igual a 1, e não é limitada se for maior que 1.
Exercícios relacionados
Verifique se os campos a seguir são conservativos:
Explique se as sequências abaixo são limitadas inferiomente e/ou superiormente, e conclua se elas são ou não limitadas.
Prove as relações:
;
Calcule, caso exista,
, sendo
igual a: