Prove as relações:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo vetorial que pede para provar uma relação envolvendo divergente e o produto vetorial de dois vetores. A matéria aqui envolve operações vetoriais como divergente, rotacional (ou curl) e produto vetorial. Para resolver, vamos precisar usar as definições dessas operações e algumas propriedades básicas delas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o divergente de um vetor. O divergente de um campo vetorial
, denotado por
, mede a “taxa de expansão” do campo em um ponto. Já o rotacional ou curl de um vetor
, denotado por
, mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto.
Passo 3
Agora, vamos olhar a expressão que queremos provar:
Aqui, temos o divergente do produto vetorial de
e
e queremos relacionar isso com os rotacionais de
e
.
Passo 4
Vamos expandir o lado esquerdo, ou seja,
. Para isso, vamos utilizar a definição do produto vetorial em componentes e depois aplicar a operação do divergente.
Suponha que
e
. O produto vetorial
é:
Agora, o divergente disso será:
Passo 5
Vamos expandir o lado direito da equação que queremos provar:
Primeiro, calculamos os rotacionais:
Agora, fazemos o produto escalar de
com
e
com
:
Passo 6
Agora, vamos somar as duas expressões que obtivemos:
Passo 7
Vamos comparar essa soma com a expansão do divergente que fizemos no Passo 4. Observamos que, ao reorganizar os termos, ambos os lados são iguais. Isso significa que:
Resposta
Portanto, provamos que