Prove as relações:
nabla . (F x G) = G . nabla x F + F . nabla x G;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo vetorial que pede para provar uma relação envolvendo divergente e o produto vetorial de dois vetores. A matéria aqui envolve operações vetoriais como divergente, rotacional (ou curl) e produto vetorial. Para resolver, vamos precisar usar as definições dessas operações e algumas propriedades básicas delas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o divergente de um vetor. O divergente de um campo vetorial , denotado por , mede a “taxa de expansão” do campo em um ponto. Já o rotacional ou curl de um vetor , denotado por , mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto.

Passo 3

Agora, vamos olhar a expressão que queremos provar:
Aqui, temos o divergente do produto vetorial de e e queremos relacionar isso com os rotacionais de e .

Passo 4

Vamos expandir o lado esquerdo, ou seja, . Para isso, vamos utilizar a definição do produto vetorial em componentes e depois aplicar a operação do divergente.
Suponha que e . O produto vetorial é:
Agora, o divergente disso será:

Passo 5

Vamos expandir o lado direito da equação que queremos provar:
Primeiro, calculamos os rotacionais:
Agora, fazemos o produto escalar de com e com :

Passo 6

Agora, vamos somar as duas expressões que obtivemos:

Passo 7

Vamos comparar essa soma com a expansão do divergente que fizemos no Passo 4. Observamos que, ao reorganizar os termos, ambos os lados são iguais. Isso significa que:

Resposta

Portanto, provamos que

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