Explique por que a série é convergente, ou divergente. Se for convergente, calcule a soma da série.

Passo 1

Vamos analisar a série . O exercício pede para determinar se essa série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular sua soma. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica, que envolve identificar a razão da série e aplicar o critério de convergência.

Passo 2

Observamos que a série dada é uma série geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão é .

Passo 3

Para determinar se a série converge ou diverge, precisamos analisar o valor absoluto da razão . Se , a série converge; caso contrário, diverge. Vamos calcular:
Sabemos que (em radianos) é aproximadamente . Portanto,

Passo 4

Como é maior que 1, isso significa que a série não converge. De acordo com o critério da série geométrica, se , a série é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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