Explique por que a série é convergente, ou divergente. Se for convergente, calcule a soma da série.
sumn=1^infty(tan 2)^n

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^infty(tan 2)^n. O exercício pede para determinar se essa série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular sua soma. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica, que envolve identificar a razão da série e aplicar o critério de convergência.

Passo 2

Observamos que a série dada é uma série geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão r é tan 2.

Passo 3

Para determinar se a série converge ou diverge, precisamos analisar o valor absoluto da razão |r|. Se |r| < 1, a série converge; caso contrário, diverge. Vamos calcular:
|r| = |tan 2|
Sabemos que tan 2 (em radianos) é aproximadamente -2.185. Portanto,
|tan 2| approx 2.185

Passo 4

Como |tan 2| approx 2.185 é maior que 1, isso significa que a série não converge. De acordo com o critério da série geométrica, se |r| >= 1, a série é divergente.

Resposta

A série sumn=1^infty(tan 2)^n é divergente.

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