Se sum an for uma série convergente com termos positivos, é verdade que sum sen(an) também será convergente? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a série sum an é convergente com termos positivos. A pergunta é: será que a série sum sin(an) também converge? Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries convergentes e o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, como a série sum an é convergente e todos os termos an são positivos, sabemos que os termos an tendem a zero conforme n aumenta. Ou seja, limn to infty an = 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função seno. Sabemos que, para valores pequenos de x, sin(x) pode ser aproximado por x. Matemáticamente, isso é representado por:
sin(an) approx an quando an to 0
Então, para termos grandes (onde an é pequeno), sin(an) se comporta de maneira semelhante a an.

Passo 4

Como sin(an) <= an para todo n (já que o seno de um número positivo menor que 1 é menor que o próprio número), podemos usar o Teste de Comparação. Sabemos que se sum an converge e 0 <= sin(an) <= an, então sum sin(an) também converge.

Resposta

Sim, a série sum sin(an) converge.

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