Se for uma série convergente com termos positivos, é verdade que também será convergente? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a série é convergente com termos positivos. A pergunta é: será que a série também converge? Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries convergentes e o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, como a série é convergente e todos os termos são positivos, sabemos que os termos tendem a zero conforme aumenta. Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função seno. Sabemos que, para valores pequenos de , pode ser aproximado por . Matemáticamente, isso é representado por:
Então, para termos grandes (onde é pequeno), se comporta de maneira semelhante a .

Passo 4

Como para todo (já que o seno de um número positivo menor que 1 é menor que o próprio número), podemos usar o Teste de Comparação. Sabemos que se converge e , então também converge.

Resposta

Sim, a série converge.

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