Se
for uma série convergente com termos positivos, é verdade que
também será convergente? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a série
é convergente com termos positivos. A pergunta é: será que a série
também converge? Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries convergentes e o Teste de Comparação.
Passo 2
Primeiro, como a série
é convergente e todos os termos
são positivos, sabemos que os termos
tendem a zero conforme
aumenta. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função seno. Sabemos que, para valores pequenos de
,
pode ser aproximado por
. Matemáticamente, isso é representado por:
Então, para termos grandes (onde
é pequeno),
se comporta de maneira semelhante a
.
Passo 4
Como
para todo
(já que o seno de um número positivo menor que 1 é menor que o próprio número), podemos usar o Teste de Comparação. Sabemos que se
converge e
, então
também converge.
Resposta
Sim, a série
converge.
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