Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para testar se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especificamente o Teste da Comparação e o Teste da Limite Comparativo. Precisaremos comparar os termos da série com uma série que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento dos termos da série quando
fica bem grande. Olhando para
, percebemos que
cresce mais rápido que
porque
. Então, para grandes valores de
,
é aproximadamente igual a
. Assim, o termo fica parecido com
.
Passo 3
Simplificando
, temos
. Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica
converge se
. No nosso caso,
, então a série
converge.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste da Limite Comparativo para confirmar a convergência da nossa série original. Definimos:
Calculamos o limite:
Como
tende a 0 quando
tende ao infinito, o limite fica:
Passo 5
Como o limite é um número finito diferente de zero (
), e sabemos que a série
converge, pelo Teste da Limite Comparativo, a série
também converge.
Resposta
A série
converge.
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Se
for uma série convergente com termos positivos, é verdade que
também será convergente? Justifique.
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