Teste a convergência ou divergência das séries.
sumk=1^infty 3^k4^k+5^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para testar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especificamente o Teste da Comparação e o Teste da Limite Comparativo. Precisaremos comparar os termos da série com uma série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento dos termos da série quando fica bem grande. Olhando para , percebemos que cresce mais rápido que porque . Então, para grandes valores de , é aproximadamente igual a . Assim, o termo fica parecido com .

Passo 3

Simplificando , temos . Essa é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Limite Comparativo para confirmar a convergência da nossa série original. Definimos:
ak = 3^k4^k + 5^k e bk = (35)^k
Calculamos o limite:
limk to infty akbk = limk to infty 3^k4^k + 5^k(35)^k = limk to infty 5^k4^k + 5^k = limk to infty 1(45)^k + 1
Como limk to infty 10 + 1 = 1 tende a 0 quando tende ao infinito, o limite fica:

Passo 5

Como o limite é um número finito diferente de zero ( ), e sabemos que a série converge, pelo Teste da Limite Comparativo, a série também converge.

Resposta

A série converge.

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