Explique por que a série é convergente, ou divergente. Se for convergente, calcule a soma da série.
sumn=1^infty(sen 2)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente explicar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre séries geométricas e como determinar a convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da série. A série que temos é da forma sumn=1^inftyr^n, onde . Isso é uma série geométrica.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a regra para séries geométricas: uma série geométrica sumn=1^inftyr^n converge se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja, |r| < 1. Se isso acontecer, a soma da série é dada por r1 - r.

Passo 4

Vamos calcular o valor de para ver se atende à condição de convergência. Sabemos que (com 2 em radianos) é aproximadamente 0,9093.

Passo 5

Com , temos que sen 2 approx 0,9093. Isso significa que a série é convergente.

Passo 6

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela usando a fórmula da série geométrica:
Soma = r1 - r = 0,90931 - 0,9093 approx 0,90930,0907 approx 10,017

Resposta

A série é convergente e a soma dela é aproximadamente 10,017.

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