Explique por que a série é convergente, ou divergente. Se for convergente, calcule a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente explicar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre séries geométricas e como determinar a convergência delas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da série. A série que temos é da forma
, onde . Isso é uma série geométrica.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a regra para séries geométricas: uma série geométrica
converge se o valor absoluto de
for menor que 1, ou seja,
. Se isso acontecer, a soma da série é dada por
.
Passo 4
Vamos calcular o valor de para ver se atende à condição de convergência. Sabemos que (com 2 em radianos) é aproximadamente 0,9093.
Passo 5
Com , temos que
. Isso significa que a série é convergente.
Passo 6
Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela usando a fórmula da série geométrica:
Resposta
A série é convergente e a soma dela é aproximadamente 10,017.