Explique o que significa dizer que uma função é derivável no ponto x = a. Qual é a interpretação geométrica do número f'(a), quando ele existe?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que é uma função derivável em um ponto. Uma função é derivável no ponto quando existe o limite que define a derivada nesse ponto. Isso faz parte do estudo do cálculo diferencial, que lida com taxas de variação e inclinações de curvas.

Passo 2

Para dizer que é derivável em , precisamos que o limite a seguir exista:
Esse limite representa a taxa de variação de em .

Passo 3

Se esse limite existe e é finito, dizemos que a função tem uma derivada em . Isso significa que a função está “suave” naquele ponto, sem cantos ou quebras.

Passo 4

Agora, sobre a interpretação geométrica de : esse valor representa a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto .

Resposta

Portanto, dizer que uma função é derivável no ponto significa que ela possui uma taxa de variação definida naquele ponto, e o número é a inclinação da reta que toca a curva da função exatamente em , mostrando como a função está se comportando naquele ponto.

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