Explique o que significa dizer que uma função é derivável no ponto
. Qual é a interpretação geométrica do número
, quando ele existe?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos saber o que significa dizer que uma função é derivável no ponto
. Além disso, precisamos entender qual é a interpretação geométrica do número
, quando ele existe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e suas interpretações gráficas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em
se ela possui uma derivada nesse ponto. A derivada,
, mede a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. Em termos mais simples, ela nos diz quão rápido a função está mudando exatamente em
.
Passo 3
Para que a função seja derivável em
, ela precisa cumprir duas condições principais:
-
Existência do limite da diferença de taxas de variação: Isso significa que o limite que define a derivada deve existir. Matemáticamente, isso é expresso como:Esse limite sendo existente garante que a taxa de variação está bem definida naquele ponto.
-
Função ser contínua em
: A função não pode ter “saltos” ou “buracos” em . A continuidade é uma condição necessária para a derivabilidade, mas não é suficiente por si só.
Passo 4
Agora, vamos para a parte geométrica. Quando a função é derivável em
, o número
tem uma interpretação importante:
- Inclinação da reta tangente:
representa a inclinação da reta que toca a curva da função exatamente em sem cruzá-la naquele ponto. Essa reta é chamada de reta tangente.
Isso significa que se você desenhar a reta que melhor “segue” a curva no ponto
, a inclinação dessa reta será exatamente
.
Resposta
Em resumo, dizer que uma função é derivável no ponto
significa que ela possui uma derivada naquele ponto, ou seja, uma taxa de variação bem definida. Geometricamente, o número
representa a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto
, indicando como a função está se comportando naquele exato instante.
Exercícios relacionados
Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
.
Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
, para o valor de
indicado.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)