Explique o que significa dizer que uma função é derivável no ponto x = a. Qual é a interpretação geométrica do número f'(a), quando ele existe?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos saber o que significa dizer que uma função é derivável no ponto . Além disso, precisamos entender qual é a interpretação geométrica do número , quando ele existe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e suas interpretações gráficas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em se ela possui uma derivada nesse ponto. A derivada, , mede a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. Em termos mais simples, ela nos diz quão rápido a função está mudando exatamente em .

Passo 3

Para que a função seja derivável em , ela precisa cumprir duas condições principais:
  1. Existência do limite da diferença de taxas de variação: Isso significa que o limite que define a derivada deve existir. Matemáticamente, isso é expresso como:
    Esse limite sendo existente garante que a taxa de variação está bem definida naquele ponto.
  2. Função ser contínua em : A função não pode ter “saltos” ou “buracos” em . A continuidade é uma condição necessária para a derivabilidade, mas não é suficiente por si só.

Passo 4

Agora, vamos para a parte geométrica. Quando a função é derivável em , o número tem uma interpretação importante:
  • Inclinação da reta tangente: representa a inclinação da reta que toca a curva da função exatamente em sem cruzá-la naquele ponto. Essa reta é chamada de reta tangente.
Isso significa que se você desenhar a reta que melhor “segue” a curva no ponto , a inclinação dessa reta será exatamente .

Resposta

Em resumo, dizer que uma função é derivável no ponto significa que ela possui uma derivada naquele ponto, ou seja, uma taxa de variação bem definida. Geometricamente, o número representa a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto , indicando como a função está se comportando naquele exato instante.

Exercícios relacionados

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
lim x +infty(1+1x)^x+5.
integral0^1 raiz1-x^2 d x=pi4
Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado.
(a) f(x) = x^2 - x + 1, a = 1
(b) f(x) = 1/x, a = -2
© f(x) = raiz(x), a = 4
(d) f(x) = 1 / raiz(x), a = 1
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x) = (3 x^4 - 7 x^2)(5 x - 11)
(b) f(x) = (2x + 3) / (x^2 - 1)
© f(x) = raiz(x) / (x^2 - 2*x)
(d) f(x) = raiz(cube(x)) + 4/x
(e) f(x) = (4*x^3 - 5/x^3 + raiz(x)) * (3/x - 4*x + 6)
(f) f(x) = x |x|