Resolva a equação diferencial.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Para resolver, vamos precisar entender como separar essas variáveis e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Podemos reescrever isso dividindo ambos os lados por
:
Agora, temos
só de um lado e
do outro, prontos para integrar.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação separada. A integral de
e a integral de
são:
Calculando as integrais:
Aqui,
é a constante de integração que aparece após integrar.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
para obter a solução geral da equação diferencial. Partimos de:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos reescrever a constante
simplesmente como
, já que
é uma constante arbitrária:
Finalmente, invertendo ambos os lados para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.