Explique o que você deve fazer com o comprimento de um pêndulo simples para: a) dobrar sua frequência; b) dobrar seu periodo; c) dobrar sua freqüência angular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre pêndulos simples e precisa entender como o comprimento desse pêndulo influencia em três coisas: a frequência, o período e a frequência angular. Para resolver isso, vamos usar um pouco de física, especificamente sobre o movimento harmônico simples. Vamos precisar das fórmulas do período do pêndulo e entender como a frequência e a frequência angular estão relacionadas com o período.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do período
de um pêndulo simples:
onde:
-
é o período, -
é o comprimento do pêndulo, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
O período é o tempo que o pêndulo leva para dar uma oscilação completa. Já a frequência
é o inverso do período:
e a frequência angular
é:
Passo 3
a) Dobrar a frequência
Queremos que a nova frequência
seja o dobro da original:
Como
, então:
Substituindo na fórmula do período:
Sabemos que
, então:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Ou seja, para dobrar a frequência, o comprimento do pêndulo precisa ser dividido por 4.
Passo 4
b) Dobrar o período
Agora queremos que o novo período
seja o dobro do original:
Usando a fórmula do período:
Elevando ao quadrado:
Então, para dobrar o período, o comprimento do pêndulo precisa ser multiplicado por 4.
Passo 5
c) Dobrar a frequência angular
Queremos que a nova frequência angular
seja o dobro da original:
Sabemos que:
Substituindo:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Então, para dobrar a frequência angular, também precisamos reduzir o comprimento do pêndulo para um quarto do original.
Resposta
a) Dividir o comprimento por 4;
b) Multiplicar o comprimento por 4;
c) Dividir o comprimento por 4.