Explique o que você deve fazer com o comprimento de um pêndulo simples para: a) dobrar sua frequência; b) dobrar seu periodo; c) dobrar sua freqüência angular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre pêndulos simples e precisa entender como o comprimento desse pêndulo influencia em três coisas: a frequência, o período e a frequência angular. Para resolver isso, vamos usar um pouco de física, especificamente sobre o movimento harmônico simples. Vamos precisar das fórmulas do período do pêndulo e entender como a frequência e a frequência angular estão relacionadas com o período.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do período T = 2pi raizLg de um pêndulo simples:
f = 1T
onde:
  • omega = 2pi f = raizgL é o período,
  • é o comprimento do pêndulo,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ²).
O período é o tempo que o pêndulo leva para dar uma oscilação completa. Já a frequência é o inverso do período:
e a frequência angular é:

Passo 3

a) Dobrar a frequência
Queremos que a nova frequência f' = 2f seja o dobro da original:
1T' = 2 cdot 1T implies T' = T2
Como T2 = 2pi raizL'g , então:
2pi raizLg2 = 2pi raizL'g implies raizLg = 2 raizL'g
Substituindo na fórmula do período:
Lg = 4 cdot L'g implies L' = L4
Sabemos que , então:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Ou seja, para dobrar a frequência, o comprimento do pêndulo precisa ser dividido por 4.

Passo 4

b) Dobrar o período
Agora queremos que o novo período T' = 2T seja o dobro do original:
2 cdot 2pi raizLg = 2pi raizL'g implies 2raizLg = raizL'g
Usando a fórmula do período:
4 cdot Lg = L'g implies L' = 4L
Elevando ao quadrado:
Então, para dobrar o período, o comprimento do pêndulo precisa ser multiplicado por 4.

Passo 5

c) Dobrar a frequência angular
Queremos que a nova frequência angular omega' = 2omega seja o dobro da original:
omega = raizgL implies 2omega = raizgL'
Sabemos que:
2raizgL = raizgL'
Substituindo:
4 cdot gL = gL' implies L' = L4
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Então, para dobrar a frequência angular, também precisamos reduzir o comprimento do pêndulo para um quarto do original.

Resposta

a) Dividir o comprimento por 4;
b) Multiplicar o comprimento por 4;
c) Dividir o comprimento por 4.

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