Um explorador numa planície horizontal avista uma montanha distante. Ele verifica que o pico da montanha está localizado a
(vinte graus) a nordeste de sua posição. Depois de viajar 10 km diretamente para o norte, ele faz novas medidas e verifica que o pico da montanha agora está a
(vinte e cinco graus) a nordeste de sua nova posição.
Qual é a distância horizontal do pico da montanha dessa segunda posição do explorador?
Qual é a distância horizontal do pico da montanha dessa segunda posição do explorador?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um explorador numa planície que vê uma montanha distante. Inicialmente, o pico da montanha está a 20 graus a nordeste da posição dele. Depois de andar 10 km para o norte, ele vê o pico agora a 25 graus a nordeste da nova posição. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a distância horizontal do pico da montanha a partir da segunda posição do explorador. Vamos usar trigonometria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine um ponto inicial
onde o explorador está antes de se mover. A montanha está no ponto
. Ele se move 10 km para o norte, chegando ao ponto
. Agora, de
, ele vê a montanha a 25 graus a nordeste.
Vamos desenhar um triângulo onde:
-
km (a distância que ele caminhou para o norte). -
(o ângulo de visão da montanha a partir de ). -
(o ângulo de visão da montanha a partir de ).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a distância horizontal do pico da montanha a partir da segunda posição (
), que vamos chamar de
.
Para fazer isso, vamos usar a tangente dos ângulos, já que temos um triângulo retângulo formado pela distância horizontal e a distância que ele caminhou.
A tangente de um ângulo é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. Então, podemos escrever:
Passo 4
Aplicando isso ao primeiro ponto (
):
Podemos resolver para
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, olhando para o segundo ponto (
):
Resolvendo para
:
Passo 7
Calculando
:
Resposta
A distância horizontal do pico da montanha a partir da segunda posição do explorador é aproximadamente 21,46 km.
Exercícios relacionados
São dados os três vetores
e
onde
e
são os versores que definem o sistema cartesiano de coordenadas.
(b) Calcule
(b) Calcule
Se a posição de uma partícula é dada por
.
c) trace o gráfico e
c) trace o gráfico
São dados os três vetores
e
onde
e
são os versores que definem o sistema cartesiano de coordenadas.
(a) Calcule o produto escalar triplo .
(a) Calcule o produto escalar triplo
Sejam os vetores
e
.
© Determine módulo, direção e sentido do vetor .
© Determine módulo, direção e sentido do vetor