Um explorador numa planície horizontal avista uma montanha distante. Ele verifica que o pico da montanha está localizado a 20^circ (vinte graus) a nordeste de sua posição. Depois de viajar 10 km diretamente para o norte, ele faz novas medidas e verifica que o pico da montanha agora está a 25^circ (vinte e cinco graus) a nordeste de sua nova posição.
Qual é a distância horizontal do pico da montanha dessa segunda posição do explorador?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um explorador numa planície que vê uma montanha distante. Inicialmente, o pico da montanha está a 20 graus a nordeste da posição dele. Depois de andar 10 km para o norte, ele vê o pico agora a 25 graus a nordeste da nova posição. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a distância horizontal do pico da montanha a partir da segunda posição do explorador. Vamos usar trigonometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine um ponto inicial onde o explorador está antes de se mover. A montanha está no ponto . Ele se move 10 km para o norte, chegando ao ponto . Agora, de , ele vê a montanha a 25 graus a nordeste.
Vamos desenhar um triângulo onde:
  • km (a distância que ele caminhou para o norte).
  • (o ângulo de visão da montanha a partir de ).
  • (o ângulo de visão da montanha a partir de ).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a distância horizontal do pico da montanha a partir da segunda posição ( tan(theta) = opostoadjacente ), que vamos chamar de .
Para fazer isso, vamos usar a tangente dos ângulos, já que temos um triângulo retângulo formado pela distância horizontal e a distância que ele caminhou.
A tangente de um ângulo é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. Então, podemos escrever:

Passo 4

Aplicando isso ao primeiro ponto ( tan(20^circ) = ABAC = 10AC ):
AC = 10tan(20^circ)
Podemos resolver para :

Passo 5

Calculando AC approx 100.3640 approx 27.45 km :

Passo 6

Agora, olhando para o segundo ponto ( tan(25^circ) = ABBC = 10x ):
x = 10tan(25^circ)
Resolvendo para :

Passo 7

Calculando x approx 100.4663 approx 21.46 km :

Resposta

A distância horizontal do pico da montanha a partir da segunda posição do explorador é aproximadamente 21,46 km.

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