onde e são os versores que definem o sistema cartesiano de coordenadas.
(a) Calcule o produto escalar triplo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores no espaço e pede para calcular o produto escalar triplo . Isso está dentro do conteúdo de produtos escalar e vetorial na matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial entre dois vetores e depois fazer o produto escalar desse resultado com outro vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
B times C = i cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 0) - j cdot (0 cdot (-1) - 1 cdot 1) + k cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1)
Simplificando cada termo:
B times C = i cdot (-1) - j cdot (-1) + k cdot (-1)
Então:
B times C = -i + j - k
Passo 4
Agora que temos B times C, vamos calcular o produto escalar com A:
A cdot (B times C) = (1i + 1j) cdot (-1i + 1j -1k)
Passo 5
O produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes correspondentes. Então:
A cdot (B times C) = (1 cdot -1) + (1 cdot 1) + (0 cdot -1) = -1 + 1 + 0 = 0
Resposta
O produto escalar triplo A cdot (B times C) é igual a 0.