onde e são os versores que definem o sistema cartesiano de coordenadas.
(a) Calcule o produto escalar triplo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores no espaço e pede para calcular o produto escalar triplo . Isso está dentro do conteúdo de produtos escalar e vetorial na matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial entre dois vetores e depois fazer o produto escalar desse resultado com outro vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando cada termo:
Então:
Passo 4
Agora que temos , vamos calcular o produto escalar com :
Passo 5
O produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes correspondentes. Então: