São dados os três vetores A, B e C
& A=i+j & B=j+k & C=i-k
onde i, j e k são os versores que definem o sistema cartesiano de coordenadas.
(a) Calcule o produto escalar triplo A cdot(B times C).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores no espaço e pede para calcular o produto escalar triplo A cdot (B times C). Isso está dentro do conteúdo de produtos escalar e vetorial na matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial entre dois vetores e depois fazer o produto escalar desse resultado com outro vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial B times C. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial é:
B times C = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 0 & -1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
B times C = i cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 0) - j cdot (0 cdot (-1) - 1 cdot 1) + k cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1)
Simplificando cada termo:
B times C = i cdot (-1) - j cdot (-1) + k cdot (-1)
Então:
B times C = -i + j - k

Passo 4

Agora que temos B times C, vamos calcular o produto escalar com A:
A cdot (B times C) = (1i + 1j) cdot (-1i + 1j -1k)

Passo 5

O produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes correspondentes. Então:
A cdot (B times C) = (1 cdot -1) + (1 cdot 1) + (0 cdot -1) = -1 + 1 + 0 = 0

Resposta

O produto escalar triplo A cdot (B times C) é igual a 0.

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