Se a posição de uma partícula é dada por x(t)=20 t-5 t^3.
c) trace o gráfico x(t), v(t) e a(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento de partículas! Aqui, a posição da partícula é dada pela função . O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, além de entender como esses gráficos se comportam. Vamos precisar saber como derivar funções e ter uma noção básica de gráficos de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, já temos a função posição v(t) = dxdt = ddt(20t - 5t^3) = 20 - 15t^2 . Para encontrar a velocidade , precisamos derivar em relação ao tempo .
A derivada de é:

Passo 3

Agora, para encontrar a aceleração a(t) = dvdt = ddt(20 - 15t^2) = -30t , vamos derivar a função velocidade em relação ao tempo .
A derivada de é:

Passo 4

Com as funções , e determinadas, vamos pensar em como os gráficos vão se comportar:
  1. Posição : É um polinômio de grau 3. O gráfico vai começar no ponto (0,0), subir inicialmente devido ao termo linear, mas depois vai cair para valores negativos conforme o termo cúbico predomina.
  2. Velocidade : É uma parábola invertida. A velocidade começa positiva, indicando que a partícula está se movendo em direção positiva, mas diminui até chegar a zero e depois se torna negativa, indicando mudança de direção.
  3. Aceleração : É uma função linear com inclinação negativa. A aceleração é negativa para , o que significa que a partícula está desacelerando enquanto move na direção positiva.

Passo 5

Para traçar os gráficos, podemos seguir estas etapas:
  • Gráfico de 20 - 15t^2 = 0 Rightarrow t^2 = 2015 = 43 Rightarrow t = raiz43 approx 1.15 : Marque alguns valores de (por exemplo, 0, 1, 2) e calcule correspondente. Plote esses pontos e conecte-os, lembrando que a curva vai subir e depois descer.
  • Gráfico de : Como é uma parábola invertida, você pode identificar o vértice da parábola resolvendo :
Isso indica que a velocidade atinge zero em , mudando de positiva para negativa.
  • Gráfico de : É uma linha reta que passa pela origem com inclinação negativa. À medida que aumenta, se torna mais negativo.

Resposta

Os gráficos de , e mostram que a posição inicialmente aumenta, a velocidade diminui até zero e depois fica negativa, enquanto a aceleração é negativa para todos , indicando desaceleração contínua.

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