Se a posição de uma partícula é dada por
.
c) trace o gráfico
e
c) trace o gráfico
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento de partículas! Aqui, a posição da partícula é dada pela função
. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, além de entender como esses gráficos se comportam. Vamos precisar saber como derivar funções e ter uma noção básica de gráficos de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, já temos a função posição
. Para encontrar a velocidade
, precisamos derivar
em relação ao tempo
.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, para encontrar a aceleração
, vamos derivar a função velocidade
em relação ao tempo
.
A derivada de
é:
Passo 4
Com as funções
,
e
determinadas, vamos pensar em como os gráficos vão se comportar:
-
Posição
: É um polinômio de grau 3. O gráfico vai começar no ponto (0,0), subir inicialmente devido ao termo linear, mas depois vai cair para valores negativos conforme o termo cúbico predomina. -
Velocidade
: É uma parábola invertida. A velocidade começa positiva, indicando que a partícula está se movendo em direção positiva, mas diminui até chegar a zero e depois se torna negativa, indicando mudança de direção. -
Aceleração
: É uma função linear com inclinação negativa. A aceleração é negativa para , o que significa que a partícula está desacelerando enquanto move na direção positiva.
Passo 5
Para traçar os gráficos, podemos seguir estas etapas:
-
Gráfico de
: Marque alguns valores de (por exemplo, 0, 1, 2) e calcule correspondente. Plote esses pontos e conecte-os, lembrando que a curva vai subir e depois descer. -
Gráfico de
: Como é uma parábola invertida, você pode identificar o vértice da parábola resolvendo :
Isso indica que a velocidade atinge zero em
, mudando de positiva para negativa.
- Gráfico de
: É uma linha reta que passa pela origem com inclinação negativa. À medida que aumenta, se torna mais negativo.
Resposta
Os gráficos de
,
e
mostram que a posição inicialmente aumenta, a velocidade diminui até zero e depois fica negativa, enquanto a aceleração é negativa para todos
, indicando desaceleração contínua.