Exprese la suma o la resta como una sola integral de la forma

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas integrais: e . O objetivo é somar essas duas integrais e expressar o resultado como uma única integral no formato . Para fazer isso, vamos usar algumas propriedades básicas de integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral definida representa a área sob a curva de entre e . Quando somamos duas integrais, podemos estar somando áreas sobre intervalos que se sobrepõem ou que são contíguos.

Passo 3

Observando os limites das integrais que temos:
  1. vai de até .
  2. vai de até .
Perceba que o segundo intervalo ( a ) está totalmente dentro do primeiro intervalo ( a ). Isso significa que ao somar essas duas integrais, estamos contando a área de a duas vezes.

Passo 4

Então, para somar as integrais sem duplicar a área de a , podemos reescrever a soma da seguinte forma:
Mas como já vimos que a área de a está sendo contada duas vezes, podemos ajustar isso para evitar a duplicação.

Passo 5

Para expressar a soma como uma única integral, vamos considerar que a integral de a já inclui a de a . Portanto, a soma das duas integrais é igual a:
Mas para evitar a duplicação, vamos subtrair a área duplicada:
Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos simplificar:

Passo 6

Na verdade, ao somar as duas integrais, a área de a está sendo contabilizada duas vezes. Para expressar a soma como uma única integral sem duplicar essa área, podemos ajustar os limites de integração.
Portanto:
Na verdade, vamos reconsiderar:

Passo 7

Vamos considerar que a soma das duas integrais pode ser representada como a soma das áreas de dois intervalos: de a e de a . Como o intervalo de a está contido dentro de a , a soma dessas integrais pode ser interpretada como a integral de a mais a integral de a .
Isso significa que a integral total cobrirá de a , mas com a área de a contada duas vezes. Para expressar isso como uma única integral sem duplicação, precisamos ajustar os limites:
Peço desculpas pela confusão. Vamos simplificar:

Resposta

Depois de ajustar os limites para evitar a duplicação, a soma das integrais pode ser expressa como uma única integral de a . Assim:

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