Exprese la suma o la resta como una sola integral de la forma
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas integrais:
e
. O objetivo é somar essas duas integrais e expressar o resultado como uma única integral no formato
. Para fazer isso, vamos usar algumas propriedades básicas de integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral definida
representa a área sob a curva de
entre
e
. Quando somamos duas integrais, podemos estar somando áreas sobre intervalos que se sobrepõem ou que são contíguos.
Passo 3
Observando os limites das integrais que temos:
-
vai de até . -
vai de até .
Perceba que o segundo intervalo (
a
) está totalmente dentro do primeiro intervalo (
a
). Isso significa que ao somar essas duas integrais, estamos contando a área de
a
duas vezes.
Passo 4
Então, para somar as integrais sem duplicar a área de
a
, podemos reescrever a soma da seguinte forma:
Mas como já vimos que a área de
a
está sendo contada duas vezes, podemos ajustar isso para evitar a duplicação.
Passo 5
Para expressar a soma como uma única integral, vamos considerar que a integral de
a
já inclui a de
a
. Portanto, a soma das duas integrais é igual a:
Mas para evitar a duplicação, vamos subtrair a área duplicada:
Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos simplificar:
Passo 6
Na verdade, ao somar as duas integrais, a área de
a
está sendo contabilizada duas vezes. Para expressar a soma como uma única integral sem duplicar essa área, podemos ajustar os limites de integração.
Portanto:
Na verdade, vamos reconsiderar:
Passo 7
Vamos considerar que a soma das duas integrais pode ser representada como a soma das áreas de dois intervalos: de
a
e de
a
. Como o intervalo de
a
está contido dentro de
a
, a soma dessas integrais pode ser interpretada como a integral de
a
mais a integral de
a
.
Isso significa que a integral total cobrirá de
a
, mas com a área de
a
contada duas vezes. Para expressar isso como uma única integral sem duplicação, precisamos ajustar os limites:
Peço desculpas pela confusão. Vamos simplificar:
Resposta
Depois de ajustar os limites para evitar a duplicação, a soma das integrais pode ser expressa como uma única integral de
a
. Assim:
Exercícios relacionados
Exprese la suma o la resta como una sola integral de la forma
Usando el método de fracciones simples calcular as seguintes integrales:
Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar e classificar os extremos da função
sobre a curva
.
Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas: