Usando el método de fracciones simples calcular as seguintes integrales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de frações simples. A gente tem uma integral que envolve uma fração racional, então vamos precisar fatorar o denominador para decompô-la em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio usando o método da tentativa e erro ou o teorema das raízes racionais.
Passo 3
Testando valores simples, vemos que
é uma raiz, porque substituindo na expressão dá zero:
Então,
é um fator do polinômio. Agora, vamos dividir
por
para encontrar os outros fatores.
Passo 4
Fazendo a divisão, obtemos:
Agora, vamos fatorar
:
Portanto, o denominador fatorado é:
Passo 5
Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, vamos substituir valores estratégicos de
para encontrar
,
e
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora que temos
,
e
, podemos reescrever a integral:
Integrando cada termo separadamente:
Somando tudo:
Resposta
A integral é igual a: