Usando el método de fracciones simples calcular as seguintes integrales:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de frações simples. A gente tem uma integral que envolve uma fração racional, então vamos precisar fatorar o denominador para decompô-la em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para isso, vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio usando o método da tentativa e erro ou o teorema das raízes racionais.

Passo 3

Testando valores simples, vemos que é uma raiz, porque substituindo na expressão dá zero: Então, é um fator do polinômio. Agora, vamos dividir por para encontrar os outros fatores.

Passo 4

Fazendo a divisão, obtemos: Agora, vamos fatorar : Portanto, o denominador fatorado é:

Passo 5

Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais: Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por , temos: Agora, vamos substituir valores estratégicos de para encontrar , e . Para : Para : Para :

Passo 7

Agora que temos , e , podemos reescrever a integral: Integrando cada termo separadamente: Somando tudo:

Resposta

A integral é igual a:

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