Usando el método de fracciones simples calcular as seguintes integrales: integral 18-2 x-4 x^2x^3+4 x^2+x-6 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de frações simples. A gente tem uma integral que envolve uma fração racional, então vamos precisar fatorar o denominador para decompô-la em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para isso, vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio usando o método da tentativa e erro ou o teorema das raízes racionais.

Passo 3

Testando valores simples, vemos que 1^3 + 4(1)^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0 é uma raiz, porque substituindo na expressão dá zero:
Então, é um fator do polinômio. Agora, vamos dividir por para encontrar os outros fatores.

Passo 4

Fazendo a divisão, obtemos:
x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6)
Agora, vamos fatorar x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) :
x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x + 2)(x + 3)
Portanto, o denominador fatorado é:

Passo 5

Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais:
18 - 2x - 4x^2(x - 1)(x + 2)(x + 3) = Ax - 1 + Bx + 2 + Cx + 3
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 18 - 2x - 4x^2 = A(x + 2)(x + 3) + B(x - 1)(x + 3) + C(x - 1)(x + 2) , temos:
18 - 2(1) - 4(1)^2 = A(1 + 2)(1 + 3)
Agora, vamos substituir valores estratégicos de 18 - 2 - 4 = A(3)(4) para encontrar 12 = 12A , A = 1 e 18 - 2(-2) - 4(-2)^2 = B(-2 - 1)(-2 + 3) .
Para 18 + 4 - 16 = B(-3)(1) :
6 = -3B
B = -2
18 - 2(-3) - 4(-3)^2 = C(-3 - 1)(-3 + 2)
18 + 6 - 36 = C(-4)(-1)
Para -12 = 4C :
C = -3
Para :

Passo 7

Agora que temos integral 18 - 2x - 4x^2x^3 + 4x^2 + x - 6 dx = integral ( 1x - 1 - 2x + 2 - 3x + 3 ) dx , integral 1x - 1 dx = ln|x - 1| e integral -2x + 2 dx = -2 ln|x + 2| , podemos reescrever a integral:
integral -3x + 3 dx = -3 ln|x + 3|
Integrando cada termo separadamente:
ln|x - 1| - 2 ln|x + 2| - 3 ln|x + 3| + C
Somando tudo:

Resposta

A integral é igual a:
ln|x - 1| - 2 ln|x + 2| - 3 ln|x + 3| + C

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