Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar e classificar os extremos da função
sobre a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremos da função
na curva definida por
. Então, vamos precisar entender um pouco sobre otimização sujeita a restrições usando Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica utilizada para encontrar os máximos e mínimos de uma função
sujeita a uma restrição
. A ideia é que no ponto extremo, o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
, ou seja:
Onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos identificar nossas funções:
Agora, vamos calcular os gradientes de
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Segundo a condição dos multiplicadores de Lagrange:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos analisar a equação (2):
Podemos dividir ambos os lados por
(considerando
):
Então,
. Agora, substituímos
na equação (1):
Isso nos dá
ou
.
Passo 7
Analisando os valores de
:
- Para
:
Substituímos na equação (3):
Então, temos os pontos
e
.
- Para
:
Substituímos na equação (3):
Então, temos o ponto
.
Passo 8
Agora, vamos classificar esses pontos como máximos ou mínimos. Para isso, avaliamos a função
em cada ponto:
- Ponto (0, 2):
- Ponto (0, -2):
- Ponto (1, 0):
Resposta
Portanto, os extremos da função
sobre a curva
são:
- Máximos locais nos pontos
e com valor . - Mínimo local no ponto
com valor .
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