Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar e classificar os extremos da função sobre a curva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremos da função na curva definida por . Então, vamos precisar entender um pouco sobre otimização sujeita a restrições usando Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica utilizada para encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a uma restrição . A ideia é que no ponto extremo, o gradiente de é paralelo ao gradiente de , ou seja:
Onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos identificar nossas funções:
Agora, vamos calcular os gradientes de e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Segundo a condição dos multiplicadores de Lagrange:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos analisar a equação (2):
Podemos dividir ambos os lados por (considerando ):
Então, . Agora, substituímos na equação (1):
Isso nos dá ou .

Passo 7

Analisando os valores de :
  1. Para :
Substituímos na equação (3):
Então, temos os pontos e .
  1. Para :
Substituímos na equação (3):
Então, temos o ponto .

Passo 8

Agora, vamos classificar esses pontos como máximos ou mínimos. Para isso, avaliamos a função em cada ponto:
  1. Ponto (0, 2):
  1. Ponto (0, -2):
  1. Ponto (1, 0):

Resposta

Portanto, os extremos da função sobre a curva são:
  • Máximos locais nos pontos e com valor .
  • Mínimo local no ponto com valor .

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