Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo ( e são reais positivos): .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para descobrir qual expressão corresponde ao desenvolvimento logarítmico . A matéria envolvida aqui é Logaritmos, e vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos: o logaritmo de um número elevado a um expoente é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo desse número. Em fórmula, isso fica assim:
Isso significa que podemos “trazer” os coeficientes dos logaritmos como expoentes dentro dos logaritmos.

Passo 3

Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:
Agora, nossa expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos usar outra propriedade dos logaritmos: a soma de logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo do produto dos argumentos. Em fórmula:
Aplicando isso, temos:

Passo 5

Ainda aplicando a mesma propriedade, vamos adicionar o próximo termo:
Lembrando que , podemos reescrever:

Resposta

A expressão correspondente é .

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(2) ptos

(a) Um campo vetorial em é definido por . Descreva esboçando alguns dos vetores em cima de alguns pontos do círculo unitário centrado na origem e comente oque acontece com o comprimento dos vetores quando se afasta da origem .
Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é:
ã
(3) 1 pto
(a) Um campo vetorial é chamado campo vetorial conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar, ou seja, se existir uma função tal que . Determine quais dos campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo determine a função .
Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo ( e são reais positivos): .