Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo (
e
são reais positivos):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para descobrir qual expressão corresponde ao desenvolvimento logarítmico
. A matéria envolvida aqui é Logaritmos, e vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos para simplificar essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos: o logaritmo de um número elevado a um expoente é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo desse número. Em fórmula, isso fica assim:
Isso significa que podemos “trazer” os coeficientes dos logaritmos como expoentes dentro dos logaritmos.
Passo 3
Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:
Agora, nossa expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos usar outra propriedade dos logaritmos: a soma de logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo do produto dos argumentos. Em fórmula:
Aplicando isso, temos:
Passo 5
Ainda aplicando a mesma propriedade, vamos adicionar o próximo termo:
Lembrando que
, podemos reescrever:
Resposta
A expressão correspondente é
.