(3) 1 pto
(a) Um campo vetorial
é chamado campo vetorial conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar, ou seja, se existir uma função
tal que
. Determine quais dos campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo determine a função
.
(a) Um campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre campos vetoriais conservativos! A pergunta quer saber se os campos vetoriais
e
são conservativos. Se forem, também precisamos encontrar a função escalar
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e as condições para um campo ser conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o primeiro campo vetorial:
Para determinar se
é conservativo, verificamos se existe uma função
tal que:
O gradiente
é dado por:
Então, queremos que:
Passo 3
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na constante de integração.
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda equação:
Mas sabemos que:
Então:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante.
Passo 4
Substituindo
na expressão de
:
Portanto, encontramos a função potencial para
, o que confirma que
é um campo vetorial conservativo.
Passo 5
Agora, vamos analisar o segundo campo vetorial:
Para verificar se
é conservativo, usamos a condição de que, para campos em duas dimensões,
é conservativo se:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Passo 6
Comparando as derivadas:
A condição para ser conservativo é que essas duas derivadas sejam iguais. Porém,
não é igual a
a menos que
, o que não é verdade para todo
. Portanto,
não é um campo vetorial conservativo.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e uma função potencial associada é:
Já o campo vetorial
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo (
e
são reais positivos):
.
(2)
ptos
(a) Um campo vetorial em
é definido por
. Descreva
esboçando alguns dos vetores
em cima de alguns pontos do círculo unitário centrado na origem e comente oque acontece com o comprimento dos vetores
quando
se afasta da origem
.
Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo (
e
são reais positivos):
.
Calcule os limites laterais
(f)
(f)