(3) 1 pto
(a) Um campo vetorial F é chamado campo vetorial conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar, ou seja, se existir uma função f tal que F = nabla f. Determine quais dos campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo determine a função f.
F1(x, y) = (x^2, 1), F2(x, y) = (x^2 * y, x + y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre campos vetoriais conservativos! A pergunta quer saber se os campos vetoriais e são conservativos. Se forem, também precisamos encontrar a função escalar tal que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e as condições para um campo ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro campo vetorial:
Para determinar se é conservativo, verificamos se existe uma função tal que:
O gradiente é dado por:
Então, queremos que:

Passo 3

Vamos integrar a primeira equação em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que aparece na constante de integração.
Agora, vamos derivar em relação a e igualar à segunda equação:
Mas sabemos que:
Então:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.

Passo 4

Substituindo na expressão de :
Portanto, encontramos a função potencial para , o que confirma que é um campo vetorial conservativo.

Passo 5

Agora, vamos analisar o segundo campo vetorial:
Para verificar se é conservativo, usamos a condição de que, para campos em duas dimensões, é conservativo se:
Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:

Passo 6

Comparando as derivadas:
A condição para ser conservativo é que essas duas derivadas sejam iguais. Porém, não é igual a a menos que , o que não é verdade para todo . Portanto, não é um campo vetorial conservativo.

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e uma função potencial associada é:
Já o campo vetorial não é conservativo.

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