(2)
ptos
(a) Um campo vetorial em
é definido por
. Descreva
esboçando alguns dos vetores
em cima de alguns pontos do círculo unitário centrado na origem e comente oque acontece com o comprimento dos vetores
quando
se afasta da origem
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um campo vetorial no plano
, definido por
. Nosso objetivo é descrever esse campo vetorial desenhando alguns vetores em pontos do círculo unitário (aquele com raio 1 e centrado na origem) e comentar o que acontece com o comprimento desses vetores quando os pontos
se afastam da origem
. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial, como representar vetores graficamente e como calcular o comprimento de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo vetorial
. Um campo vetorial atribui a cada ponto
do plano um vetor. Nesse caso, para cada ponto, o vetor tem componente
na direção
(horizontal) e componente
na direção
(vertical).
Vamos esboçar alguns vetores desse campo no círculo unitário (todos os pontos
que satisfazem
):
-
No ponto
: O vetor aponta para a direita, com comprimento 1. -
No ponto
: O vetor aponta para baixo, com comprimento 1. -
No ponto
: O vetor aponta para a esquerda, com comprimento 1. -
No ponto
: O vetor aponta para cima, com comprimento 1.
Esses vetores no círculo unitário todas têm comprimento igual a 1 e apontam para as direções dos eixos.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comprimento dos vetores
quando
se afasta da origem. O comprimento de um vetor
é dado pela fórmula:
No nosso caso,
, então:
Perceba que
é justamente a distância do ponto
até a origem
. Portanto, o comprimento do vetor
é igual à distância desse ponto até a origem.
Resposta
Quando
se afasta da origem, ou seja, aumenta a distância
, o comprimento dos vetores
também aumenta proporcionalmente. Assim, quanto mais longe do centro, maior o tamanho dos vetores no campo vetorial
.
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e
são reais positivos):
.
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tal que
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.
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