(2) 2, 5 ptos

(a) Um campo vetorial em R^2 é definido por F(x, y) = x * i - y * j. Descreva F esboçando alguns dos vetores F(x, y) em cima de alguns pontos do círculo unitário centrado na origem e comente oque acontece com o comprimento dos vetores F(x, y) quando (x, y) se afasta da origem (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um campo vetorial no plano , definido por . Nosso objetivo é descrever esse campo vetorial desenhando alguns vetores em pontos do círculo unitário (aquele com raio 1 e centrado na origem) e comentar o que acontece com o comprimento desses vetores quando os pontos se afastam da origem . Para isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial, como representar vetores graficamente e como calcular o comprimento de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo vetorial . Um campo vetorial atribui a cada ponto do plano um vetor. Nesse caso, para cada ponto, o vetor tem componente na direção (horizontal) e componente na direção (vertical).
Vamos esboçar alguns vetores desse campo no círculo unitário (todos os pontos que satisfazem ):
  1. No ponto :
    O vetor aponta para a direita, com comprimento 1.
  2. No ponto :
    O vetor aponta para baixo, com comprimento 1.
  3. No ponto :
    O vetor aponta para a esquerda, com comprimento 1.
  4. No ponto :
    O vetor aponta para cima, com comprimento 1.
Esses vetores no círculo unitário todas têm comprimento igual a 1 e apontam para as direções dos eixos.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comprimento dos vetores quando se afasta da origem. O comprimento de um vetor é dado pela fórmula:
No nosso caso, , então:
Perceba que é justamente a distância do ponto até a origem . Portanto, o comprimento do vetor é igual à distância desse ponto até a origem.

Resposta

Quando se afasta da origem, ou seja, aumenta a distância , o comprimento dos vetores também aumenta proporcionalmente. Assim, quanto mais longe do centro, maior o tamanho dos vetores no campo vetorial .

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