Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo ( e são reais positivos): .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a expressão que, quando feita o desenvolvimento logarítmico, resulta em . Vamos usar os conceitos de propriedades dos logaritmos para chegar na expressão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das principais propriedades dos logaritmos que vamos precisar:
  1. Logaritmo de um produto:
  2. Logaritmo de uma divisão:
  3. Logaritmo de uma potência:
  4. Logaritmo de uma constante multiplicativa: Se temos uma constante fora do logaritmo, como o 2 no nosso caso, podemos interpretá-la como se estivermos usando logaritmo de base 10, já que .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão utilizando essas propriedades:
  1. O 2 pode ser escrito como (assumindo logaritmo de base 10).
  2. fica .
  3. fica .
  4. A expressão completa fica: .

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos utilizando as propriedades de multiplicação e divisão dos logaritmos:
Portanto, combinando tudo:

Passo 5

Isso significa que a expressão cuja desenvoltura logarítmica é é:

Resposta

A expressão é .

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Dada a função exponencial . Qual o maior intervalo possível onde k deve pertencer para que a função seja decrescente?
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(w)
Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo ( e são reais positivos): .