Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo (
e
são reais positivos):
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a expressão que, quando desenvolvemos o logaritmo, resulta em
. Aqui, estamos trabalhando com propriedades de logaritmos e exponenciais. Vamos precisar lembrar de como as regras dos logaritmos funcionam para reverter esse desenvolvimento e achar a expressão original.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a expressão que queremos encontrar de
. Então, temos:
Nossa meta é isolar o
nessa equação.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 3 para eliminar o denominador:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar os termos para facilitar a aplicação das propriedades dos logaritmos:
Passo 5
Lembrando que
, podemos reescrever os termos:
Passo 6
Agora, usando a propriedade de que
, podemos combinar os termos:
Passo 7
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial nos dois lados. Se assumirmos que o logaritmo é na base 10, teremos:
Passo 8
Agora, vamos isolar
dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Por fim, para encontrar
, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Resposta
A expressão é
.
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e
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.
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