Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo ( e são reais positivos): .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a expressão que, quando desenvolvemos o logaritmo, resulta em . Aqui, estamos trabalhando com propriedades de logaritmos e exponenciais. Vamos precisar lembrar de como as regras dos logaritmos funcionam para reverter esse desenvolvimento e achar a expressão original.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a expressão que queremos encontrar de . Então, temos:
Nossa meta é isolar o nessa equação.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 3 para eliminar o denominador:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar os termos para facilitar a aplicação das propriedades dos logaritmos:

Passo 5

Lembrando que , podemos reescrever os termos:

Passo 6

Agora, usando a propriedade de que , podemos combinar os termos:

Passo 7

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial nos dois lados. Se assumirmos que o logaritmo é na base 10, teremos:

Passo 8

Agora, vamos isolar dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Por fim, para encontrar , tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:

Resposta

A expressão é .

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