Uma fina haste de vidro é dobrada em um semicírculo de raio a. Uma carga +q é distribuída uniformemente sobre a haste. (b) Determine o campo elétrico em P devido à distribuição de carga na haste.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma fina haste de vidro que foi dobrada formando um semicírculo com raio $ a $. Essa haste tem uma carga total $ +q $ distribuída de forma uniforme ao longo dela. A pergunta quer que a gente determine o campo elétrico no ponto $ P $ causado por essa distribuição de carga.
Aqui, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a ideia de campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga. Vamos lembrar que o campo elétrico é uma grandeza vetorial que representa a força por unidade de carga em um ponto no espaço devido a outras cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída. A carga total $ q $ está espalhada uniformemente ao longo do semicírculo. Isso significa que a densidade linear de carga $ \lambda $ é constante e pode ser calculada pela relação:
q
Onde $ L $ é o comprimento da haste. Como a haste forma um semicírculo, o comprimento $ L $ é dado por:
lambda
Portanto, a densidade linear de carga é:
lambda = qL

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico no ponto $ P $. Supondo que $ P $ está no centro do semicírculo, vamos considerar um pequeno elemento de comprimento $ ds $ na haste. A carga nesse elemento é $ dq = \lambda ds $.
O campo elétrico gerado por esse elemento $ dq $ no ponto $ P $ é dado por:
P
Aqui, $ r = a $ é a distância do elemento $ dq $ até $ P $, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.

Passo 4

Como estamos trabalhando com um semicírculo, a simetria nos ajuda bastante. Para cada elemento de carga em uma posição $ \theta $, existe um elemento oposto em $ -\theta $. Os componentes horizontais dos campos elétricos desses elementos se cancelam, enquanto os componentes verticais se somam.
Então, apenas o componente vertical do campo elétrico contribui para o campo total no ponto $ P $. Esse componente é:
theta
Substituindo $ dE $:
-theta

Passo 5

Agora, vamos expressar $ ds $ em termos de $ \theta $. Em coordenadas polares, $ ds = a d\theta $. Substituindo isso na expressão acima:
ds

Passo 6

Integrando $ dE_y $ ao longo de todo o semicírculo, de $ \theta = 0 $ a $ \theta = \pi $:
dEy
Fatorando as constantes:
theta = 0
A integral de $ \sin\theta $ de 0 a $ \pi $ é:
theta = pi
Portanto:
Ey = integral0^pi lambda4pivarepsilon0 a sintheta dtheta

Passo 7

Agora, substituímos $ \lambda $ pela expressão que encontramos no Passo 2:
lambda
Então:
lambda = qpi a

Resposta

O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por:
P
Onde $ \hat{j} $ representa a direção vertical no plano do semicírculo.

Exercícios relacionados