Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica no ponto para cada caso:
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma esfera dada por e um ponto na superfície dessa esfera. Nosso objetivo é encontrar a equação geral do plano tangente à esfera nesse ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre superfícies esféricas e planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da esfera e o seu raio. A equação geral da esfera é , onde é o centro e é o raio.
Na nossa equação:
  • Centro =
  • Raio =

Passo 3

Sabe como a gente encontra o plano tangente a uma esfera num ponto específico? A fórmula é baseada no fato de que o vetor normal ao plano tangente é o vetor que vai do centro da esfera até o ponto de tangência.
Matematicamente, se é o centro e é o ponto de tangência, a equação do plano tangente é:

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos:
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo:
Então:

Passo 6

Distribuindo os termos:
Simplificando os constantes:

Passo 7

Aí, a equação fica:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por para ficar mais arrumado:

Resposta

A equação geral do plano tangente à esfera no ponto é:

Exercícios relacionados

Sejam o espaço vetorial de todas as funções reais e fixado. Mostre que o conjunto
é um subespaço de .
Expressar o vetor em como combinação linear dos vetores e
Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.
Reduza cada uma das equações à forma canônica (se necessário), identifique a superfície e esboce seu gráfico.