Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica
no ponto
para cada caso:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma esfera
dada por
e um ponto
na superfície dessa esfera. Nosso objetivo é encontrar a equação geral do plano tangente à esfera
nesse ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre superfícies esféricas e planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da esfera
e o seu raio. A equação geral da esfera é
, onde
é o centro e
é o raio.
Na nossa equação:
- Centro
= - Raio
=
Passo 3
Sabe como a gente encontra o plano tangente a uma esfera num ponto específico? A fórmula é baseada no fato de que o vetor normal ao plano tangente é o vetor que vai do centro da esfera até o ponto de tangência.
Matematicamente, se
é o centro e
é o ponto de tangência, a equação do plano tangente é:
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos simplificar cada termo:
Então:
Passo 6
Distribuindo os termos:
Simplificando os constantes:
Passo 7
Aí, a equação fica:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
para ficar mais arrumado:
Resposta
A equação geral do plano tangente à esfera
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Sejam
o espaço vetorial de todas as funções reais e
fixado. Mostre que o conjunto
é um subespaço de
.
Expressar o vetor
em
como combinação linear dos vetores
e
Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.
Reduza cada uma das equações à forma canônica (se necessário), identifique a superfície e esboce seu gráfico.