Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no ponto P para cada caso:
E:(x-3)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=12 e P(1,-3,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma esfera E dada por (x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 12 e um ponto P(1, -3, 4) na superfície dessa esfera. Nosso objetivo é encontrar a equação geral do plano tangente à esfera E nesse ponto P. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre superfícies esféricas e planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da esfera E e o seu raio. A equação geral da esfera é (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2, onde (a, b, c) é o centro e r é o raio.
Na nossa equação:
  • Centro C = (3, -1, 2)
  • Raio r = raiz12 = 2raiz3

Passo 3

Sabe como a gente encontra o plano tangente a uma esfera num ponto específico? A fórmula é baseada no fato de que o vetor normal ao plano tangente é o vetor que vai do centro da esfera até o ponto de tangência.
Matematicamente, se C(a, b, c) é o centro e P(x0, y0, z0) é o ponto de tangência, a equação do plano tangente é:
(x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) + (z0 - c)(z - c) = r^2

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos:
  • C(3, -1, 2)
  • P(1, -3, 4)
  • r^2 = 12
Substituindo:
(1 - 3)(x - 3) + (-3 + 1)(y + 1) + (4 - 2)(z - 2) = 12

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo:
  • (1 - 3) = -2
  • (-3 + 1) = -2
  • (4 - 2) = 2
Então:
-2(x - 3) - 2(y + 1) + 2(z - 2) = 12

Passo 6

Distribuindo os termos:
-2x + 6 - 2y - 2 + 2z - 4 = 12
Simplificando os constantes:
-2x - 2y + 2z + (6 - 2 - 4) = 12
-2x - 2y + 2z + 0 = 12

Passo 7

Aí, a equação fica:
-2x - 2y + 2z = 12
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -2 para ficar mais arrumado:
x + y - z = -6

Resposta

A equação geral do plano tangente à esfera E no ponto P(1, -3, 4) é:
x + y - z = -6

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