Suponha que um gêiser, com centro na origem de um sistema de coordenadas polares, esguiche água em um padrão circular de tal maneira que a profundidade
da água que atinge um ponto a uma distância de
pés da origem em uma hora é
. Calcule o volume total de água que o gêiser esguicha em um círculo de raio
com centro na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um gêiser que lança água em um padrão circular. A profundidade da água em um ponto a uma certa distância
da origem é dada pela função
. Nosso objetivo aqui é calcular o volume total de água que o gêiser lança em um círculo com raio
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o volume total de água distribuído nesse círculo. Imagine que o círculo está dividido em anéis muito finos, cada um com uma largura infinitesimal
e raio
. A área de cada anel é dada por
.
Passo 3
A profundidade da água em cada ponto desse anel é
. Então, o volume de água naquele anel específico é a profundidade multiplicada pela área do anel:
Passo 4
Para encontrar o volume total de água no círculo inteiro, precisamos somar (integrar) todos esses volumes de anel desde o centro (
) até o raio
:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa integral. Podemos fatorar as constantes fora da integral:
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes. Se deixarmos
e
, então
e
. Aplicando a integração por partes:
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume total de água que o gêiser esguicha no círculo de raio
é: