Suponha que um gêiser, com centro na origem de um sistema de coordenadas polares, esguiche água em um padrão circular de tal maneira que a profundidade D da água que atinge um ponto a uma distância de r pés da origem em uma hora é D = k e^(-r). Calcule o volume total de água que o gêiser esguicha em um círculo de raio R com centro na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um gêiser que lança água em um padrão circular. A profundidade da água em um ponto a uma certa distância da origem é dada pela função . Nosso objetivo aqui é calcular o volume total de água que o gêiser lança em um círculo com raio . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o volume total de água distribuído nesse círculo. Imagine que o círculo está dividido em anéis muito finos, cada um com uma largura infinitesimal e raio . A área de cada anel é dada por .

Passo 3

A profundidade da água em cada ponto desse anel é . Então, o volume de água naquele anel específico é a profundidade multiplicada pela área do anel:

Passo 4

Para encontrar o volume total de água no círculo inteiro, precisamos somar (integrar) todos esses volumes de anel desde o centro ( ) até o raio :

Passo 5

Agora, vamos resolver essa integral. Podemos fatorar as constantes fora da integral:
Para resolver , usamos a técnica de integração por partes. Se deixarmos e , então e . Aplicando a integração por partes:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume total de água que o gêiser esguicha no círculo de raio é:

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