Use coordenadas polares para calcular a integral dupla. , onde é o setor do primeiro quadrante limitado por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é , onde é uma região no primeiro quadrante limitada por , e o círculo . Para resolver isso, vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas polares e definir os limites de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, e . A área diferencial em coordenadas polares vira . Então, nossa integral vai mudar de forma.
Passo 3
Vamos reescrever a função dentro da integral. Temos . Substituindo e por e :
(Nosso denominador simplifica porque ).
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. A região está no primeiro quadrante, então vai de até (já que é uma linha de 45 graus). O raio vai de até , porque o círculo tem raio .
Passo 5
Com tudo isso, nossa integral em coordenadas polares fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral externa: