Use coordenadas polares para calcular a integral dupla. integral duplaR 11+x^2+y^2 d A, onde R é o setor do primeiro quadrante limitado por y=0, y=x e x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é , onde é uma região no primeiro quadrante limitada por , e o círculo . Para resolver isso, vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas polares e definir os limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, e . A área diferencial em coordenadas polares vira . Então, nossa integral vai mudar de forma.

Passo 3

Vamos reescrever a função dentro da integral. Temos 11 + (rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = 11 + r^2(cos^2theta + sin^2theta) = 11 + r^2 . Substituindo e por e :
(Nosso denominador simplifica porque ).

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. A região está no primeiro quadrante, então vai de até (já que é uma linha de 45 graus). O raio vai de até , porque o círculo tem raio .

Passo 5

Com tudo isso, nossa integral em coordenadas polares fica:
integral0^pi4 integral0^2 11 + r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^2 r1 + r^2 , dr :
12 integral1^5 1u , du = 12 ln|u| |1^5 = 12 (ln5 - ln1) = 12 ln5
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^pi4 12 ln5 , dtheta = 12 ln5 cdot ( pi4 - 0 ) = pi8 ln5

Resposta

A integral dupla vale .

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