Expresse os comprimentos
e
na figura em termos de
.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente expressar os comprimentos
e
em termos de
na figura apresentada. Isso envolve conceitos de trigonometria, especificamente funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente. Vamos precisar entender como essas funções relacionam os ângulos aos lados de um triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que estamos trabalhando com um triângulo retângulo, onde
é um dos ângulos agudos. Nesse triângulo, os lados
e
podem representar, por exemplo, os catetos, e o terceiro lado seria a hipotenusa
.
Passo 3
Para relacionar os lados com o ângulo
, usamos as funções trigonométricas básicas:
- Seno (
): relação entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. - Cosseno (
): relação entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. - Tangente (
): relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
Passo 4
Vamos supor que:
-
é o cateto oposto ao ângulo . -
é o cateto adjacente ao ângulo . -
é a hipotenusa.
Com isso, podemos escrever:
Passo 5
Queremos expressar
e
em termos de
. Para isso, vamos isolar
e
nas equações acima:
Para
:
Para
:
Passo 6
Se não tivermos o valor da hipotenusa
, mas sabemos a relação entre
e
, podemos usar a função tangente:
Resposta
Os comprimentos
e
em termos de
são:
Ou, se quisermos relacionar
e
diretamente:
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Encontre os valores exatos.
(a)
(a)
Encontre o comprimento de um arco de um círculo de raio 12 cm , cujo ângulo central é
.
Demonstre as identidades.
Sejam
e
pontos no plano:
Encontre o comprimento do segmento .
Encontre o comprimento do segmento