Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são expressões polinomiais. O que precisamos fazer é encontrar os valores de que tornam essa fração negativa. Para isso, vamos identificar onde o numerador e o denominador mudam de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes do numerador . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes do denominador . Resolvendo:
Então, as raízes do denominador são e . Note que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida.
Passo 4
Agora, vamos colocar todas essas raízes em ordem crescente para dividir a reta numérica em intervalos. As raízes que encontramos são: , , e . Portanto, os intervalos são:
Passo 5
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal da fração .
Intervalo : Escolha
Intervalo : Escolha
Intervalo : Escolha
Intervalo : Escolha
Intervalo : Escolha
Passo 6
Agora que já sabemos onde a fração é negativa, vamos considerar também os pontos onde o numerador é zero, que são e . Nesses pontos, a fração é igual a zero, mas a inequação é estrita (), então não incluímos esses pontos na solução.
Além disso, os pontos onde o denominador é zero ( e ) não pertencem à solução, pois a expressão não está definida nesses valores.