Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são expressões polinomiais. O que precisamos fazer é encontrar os valores de que tornam essa fração negativa. Para isso, vamos identificar onde o numerador e o denominador mudam de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes do numerador . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes do denominador . Resolvendo:
Então, as raízes do denominador são e . Note que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida.

Passo 4

Agora, vamos colocar todas essas raízes em ordem crescente para dividir a reta numérica em intervalos. As raízes que encontramos são: , , e . Portanto, os intervalos são:

Passo 5

Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal da fração .
  1. Intervalo : Escolha
  2. Intervalo : Escolha
  3. Intervalo : Escolha
  4. Intervalo : Escolha
  5. Intervalo : Escolha

Passo 6

Agora que já sabemos onde a fração é negativa, vamos considerar também os pontos onde o numerador é zero, que são e . Nesses pontos, a fração é igual a zero, mas a inequação é estrita ( ), então não incluímos esses pontos na solução.
Além disso, os pontos onde o denominador é zero ( e ) não pertencem à solução, pois a expressão não está definida nesses valores.

Resposta

A solução da inequação em notação de intervalo é:

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Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo.