Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma inequação para resolver: . Aqui, estamos trabalhando com inequações que envolvem valores absolutos. Para resolver esse tipo de problema, vamos precisar entender como lidar com as partes positivas e negativas da expressão dentro do valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é valor absoluto. O valor absoluto de um número é a distância desse número até zero na reta numérica, sempre positivo. Então, é igual a se e se .
Passo 3
Aplicando isso na nossa inequação, temos que considerar duas situações:
Quando o que está dentro do valor absoluto é positivo ou zero:
Quando o que está dentro do valor absoluto é negativo:
Passo 4
Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1:
Primeiro, vamos eliminar as frações multiplicando todos os termos por 10 para facilitar:
Agora, vamos juntar os termos com de um lado e os números do outro:
Dividindo ambos os lados por e lembrando que ao dividir por um número negativo a desigualdade inverte:
Caso 2:
Distribuindo o sinal negativo:
Multiplicando todos os termos por 10 para eliminar as frações:
Juntando os termos com de um lado e os números do outro:
Dividindo ambos os lados por e invertendo a desigualdade:
Passo 5
Agora, vamos juntar as soluções dos dois casos. No primeiro caso, encontramos que , e no segundo caso, . Como ambas as soluções são do tipo “menor ou igual a”, a interseção dos conjuntos é onde é menor ou igual a .
Resposta
O conjunto das soluções em notação de intervalo é: