Uma onda sonora harmônica propaga-se em um tubo cilíndrico com velocidade V. Observase que o deslocamento longitudinal da seção do tubo localizada em x=0 é dado por U=A sin (alpha t). Considerando P0 (pressão de repouso do ar), rho0 (densidade de repouso do ar) e gamma (constante adiabática do ar), responda os itens abaixo:
(D) Obtenha a função P(x, t) que descreve a pressão do ar nas seções transversais do tubo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda sonora que se propaga num tubo cilíndrico. Sabemos que a velocidade dessa onda é e que o deslocamento longitudinal na posição é dado por . Nosso objetivo aqui é encontrar a função que descreve a pressão do ar nas seções transversais do tubo. Para resolver isso, vamos precisar entender como o deslocamento das partículas está relacionado à variação de pressão numa onda sonora. Vamos usar conceitos de ondas harmônicas e propriedades da física dos gases, como a densidade de repouso e a constante adiabática .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que numa onda sonora, a variação de pressão P(x, t) = P0 + rho0 V partial Upartial t está relacionada ao deslocamento das partículas . A relação básica que conecta essas duas grandezas é dada por:
Aqui, é a pressão de repouso do ar, é a densidade de repouso do ar, e é a velocidade de propagação da onda sonora.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada do deslocamento U(0, t) = A sin(alpha t) em relação ao tempo U(x, t) = A sin(kx - alpha t) . Sabemos que no ponto partial Upartial t = -A alpha cos(kx - alpha t) , o deslocamento é:
Assumindo que a onda se propaga de forma harmônica, podemos generalizar para qualquer posição :
Onde é o número de onda relacionado à velocidade e à frequência pela relação .
Calculando a derivada temporal:

Passo 4

Substituindo a derivada na expressão da pressão:
P(x, t) = P0 + rho0 V (-A alpha cos(kx - alpha t))
Simplificando:
P(x, t) = P0 - rho0 V A alpha cos(kx - alpha t)
Podemos reescrever essa expressão usando a identidade trigonométrica de fase:
cos(kx - alpha t) = sin(kx - alpha t + pi2)
Então, a função pressão fica:
P(x, t) = P0 + rho0 V A alpha sin(kx - alpha t + pi2)

Resposta

A função que descreve a pressão do ar nas seções transversais do tubo é:
P(x, t) = P0 + rho0 V A alpha sin(kx - alpha t + pi2)

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