Uma onda sonora harmônica propaga-se em um tubo cilíndrico com velocidade
. Observase que o deslocamento longitudinal da seção do tubo localizada em
é dado por
. Considerando
(pressão de repouso do ar),
(densidade de repouso do ar) e
(constante adiabática do ar), responda os itens abaixo:
(D) Obtenha a função
que descreve a pressão do ar nas seções transversais do tubo.
(D) Obtenha a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda sonora que se propaga num tubo cilíndrico. Sabemos que a velocidade dessa onda é
e que o deslocamento longitudinal na posição
é dado por
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função
que descreve a pressão do ar nas seções transversais do tubo. Para resolver isso, vamos precisar entender como o deslocamento das partículas está relacionado à variação de pressão numa onda sonora. Vamos usar conceitos de ondas harmônicas e propriedades da física dos gases, como a densidade de repouso
e a constante adiabática
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que numa onda sonora, a variação de pressão
está relacionada ao deslocamento das partículas
. A relação básica que conecta essas duas grandezas é dada por:
Aqui,
é a pressão de repouso do ar,
é a densidade de repouso do ar, e
é a velocidade de propagação da onda sonora.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada do deslocamento
em relação ao tempo
. Sabemos que no ponto
, o deslocamento é:
Assumindo que a onda se propaga de forma harmônica, podemos generalizar para qualquer posição
:
Onde
é o número de onda relacionado à velocidade
e à frequência
pela relação
.
Calculando a derivada temporal:
Passo 4
Substituindo a derivada na expressão da pressão:
Simplificando:
Podemos reescrever essa expressão usando a identidade trigonométrica de fase:
Então, a função pressão fica:
Resposta
A função que descreve a pressão do ar nas seções transversais do tubo é:
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e
.
Expresse
como uma região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.
é limitada pelas curvas
.
Uma onda sonora harmônica propaga-se em um tubo cilíndrico com velocidade
. Observase que o deslocamento longitudinal da seção do tubo localizada em
é dado por
. Considerando
(pressão de repouso do ar),
(densidade de repouso do ar) e
(constante adiabática do ar), responda os itens abaixo:
(B) Qual o comprimento da onda?
(B) Qual o comprimento da onda?
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