Expresse d/y d/x em termos de x e de y, em que y = f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente por: 2y + sen(y^2) = x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A função está dada de forma implícita pela equação . Para resolver isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando está misturado com numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a operação de derivada em cada termo:

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo separadamente:
  1. Diferenciando :
    Como é uma função de , a derivada de é .
  2. Diferenciando :
    Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Neste caso, , então:
  3. Diferenciando :
    A derivada de em relação a é 1.
Então, nossa equação diferenciada fica:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 5

Para isolar , basta dividir ambos os lados da equação pelo fator que está multiplicando :

Resposta

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