O princípio de Carnot afirma que a razão entre o trabalho realizado e o calor recebido por um sistema que opera segundo um ciclo de Carnot depende somente das temperaturas dos reservatórios. Esse princípio é universal sendo, portanto, independente da substância de que é composto o sistema que percorre o ciclo. Mostre que a eficiência para ciclo de Carnot:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre o Princípio de Carnot, que fala sobre a eficiência de máquinas térmicas que operam em um ciclo chamado ciclo de Carnot. Esse princípio diz que a eficiência depende só das temperaturas dos reservatórios quentes e frios, e não importa com o que a máquina está feita. A gente precisa mostrar que a eficiência desse ciclo é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o ciclo de Carnot e usar algumas relações básicas da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a eficiência $ e $ de uma máquina térmica é definida como a razão entre o trabalho realizado $ W $ e o calor absorvido $ Q_q $ do reservatório quente. Ou seja:
Passo 3
No ciclo de Carnot, todo o trabalho realizado $ W $ é igual à diferença entre o calor recebido do reservatório quente $ Q_q $ e o calor rejeitado ao reservatório frio $ Q_f $:
Passo 4
Substituindo essa relação na fórmula da eficiência, temos:
Passo 5
Agora, segundo o Princípio de Carnot, a razão entre os calores trocados é igual à razão das temperaturas dos reservatórios. Ou seja:
Aqui, $ T_q $ é a temperatura do reservatório quente e $ T_f $ é a temperatura do reservatório frio, ambas em Kelvin.
Passo 6
Substituindo essa relação na expressão da eficiência, ficamos com:
Resposta
A eficiência para o ciclo de Carnot é: