Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a soma infinita
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e entender como as séries telescópicas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
usando frações parciais. Isso significa que vamos decompor essa fração em uma soma de frações mais simples, que são mais fáceis de somar.
Passo 3
Assumimos que podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum
, temos:
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes para encontrar
,
e
.
Passo 5
Para facilitar, podemos escolher valores específicos de
que simplificam a equação. Por exemplo:
- Se
, então , e resolveremos para . - Se
, então , e resolveremos para . - Se
, então , e resolveremos para .
Calculando esses valores, encontramos:
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
de volta na decomposição:
Isso nos ajuda a somar os termos de forma mais simples.
Passo 7
Vamos escrever a soma original usando essa decomposição:
Podemos separar essa soma em três somas distintas.
Passo 8
Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos vários termos consecutivos. Ao calcular a soma até o infinito, apenas alguns termos iniciais permanecem.
Passo 9
Após simplificar e calcular os limites, descobrimos que a soma total converge para
.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
e
.
Encontre a taxa de variação de na direção de um vetor que forma um ângulo de
.
Encontre a taxa de variação de
Mostre que
Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.
A temperatura (em graus Celsius) em um ponto
em uma placa de metal no plano
é
Determine a taxa de variação da temperatura em
na direção de
.