Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a soma infinita é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e entender como as séries telescópicas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando frações parciais. Isso significa que vamos decompor essa fração em uma soma de frações mais simples, que são mais fáceis de somar.

Passo 3

Assumimos que podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum , temos:
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes para encontrar , e .

Passo 5

Para facilitar, podemos escolher valores específicos de que simplificam a equação. Por exemplo:
  • Se , então , e resolveremos para .
  • Se , então , e resolveremos para .
  • Se , então , e resolveremos para .
Calculando esses valores, encontramos:

Passo 6

Agora, substituímos , e de volta na decomposição:
Isso nos ajuda a somar os termos de forma mais simples.

Passo 7

Vamos escrever a soma original usando essa decomposição:
Podemos separar essa soma em três somas distintas.

Passo 8

Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos vários termos consecutivos. Ao calcular a soma até o infinito, apenas alguns termos iniciais permanecem.

Passo 9

Após simplificar e calcular os limites, descobrimos que a soma total converge para .

Resposta

Exercícios relacionados

Seja e .
Encontre a taxa de variação de na direção de um vetor que forma um ângulo de .
Mostre que
Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.
A temperatura (em graus Celsius) em um ponto em uma placa de metal no plano é
Determine a taxa de variação da temperatura em na direção de .