Mostre que sumn=0^infty 1(4 n+1)(4 n+5)(4 n+9)=140

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a soma infinita é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e entender como as séries telescópicas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando frações parciais. Isso significa que vamos decompor essa fração em uma soma de frações mais simples, que são mais fáceis de somar.

Passo 3

Assumimos que podemos escrever:
1(4n+1)(4n+5)(4n+9) = A4n+1 + B4n+5 + C4n+9
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum 1 = A(4n+5)(4n+9) + B(4n+1)(4n+9) + C(4n+1)(4n+5) , temos:
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes para encontrar , e .

Passo 5

Para facilitar, podemos escolher valores específicos de A = 132, B = -116, C = 132 que simplificam a equação. Por exemplo:
  • Se , então , e resolveremos para .
  • Se , então , e resolveremos para .
  • Se , então , e resolveremos para .
Calculando esses valores, encontramos:

Passo 6

Agora, substituímos 1(4n+1)(4n+5)(4n+9) = 132(4n+1) - 116(4n+5) + 132(4n+9) , e de volta na decomposição:
Isso nos ajuda a somar os termos de forma mais simples.

Passo 7

Vamos escrever a soma original usando essa decomposição:
sumn=0^infty ( 132(4n+1) - 116(4n+5) + 132(4n+9) )
Podemos separar essa soma em três somas distintas.

Passo 8

Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos vários termos consecutivos. Ao calcular a soma até o infinito, apenas alguns termos iniciais permanecem.

Passo 9

Após simplificar e calcular os limites, descobrimos que a soma total converge para .

Resposta

sumn=0^infty 1(4n+1)(4n+5)(4n+9) = 140

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