Expresse em termos da função degrau unitário .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa reescrever a função usando a função degrau unitário, que é chamada de . Essa matéria é sobre funções definidas por partes e como usar o degrau unitário para representar mudanças abruptas na função. Para resolver isso, vamos precisar transformar cada intervalo onde muda de valor em expressões que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função degrau unitário . Ela vale 0 para e 1 para . Isso é super útil para “ligar” ou “desligar” partes da nossa função em pontos específicos no tempo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função que o exercício nos deu:
A função começa em 0, muda para -2 em , depois para 2 em e finalmente para 1 em .

Passo 4

Vamos representar cada mudança usando a função degrau unitário. A primeira mudança acontece em . Para essa mudança de 0 para -2, usamos:
Isso significa que a partir de , vamos subtrair 2.

Passo 5

A próxima mudança é em , onde passa de -2 para 2. Isso é um aumento de 4 (porque 2 - (-2) = 4). Então, adicionamos:
Agora, temos que a partir de , a função aumenta em 4.

Passo 6

A última mudança é em , onde vai de 2 para 1. Isso é uma diminuição de 1 (porque 1 - 2 = -1). Então, subtraímos:
Com isso, a partir de , a função diminui em 1.

Resposta

Juntando tudo, a expressão de em termos da função degrau unitário fica:

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Expresse em termos da função degrau unitário .
Em 1789, Henry Cavendish estimou a densidade da Terra usando uma balança de torção. Suas 29 medidas estão apresentadas a seguir, expressas como uma um múltiplo da densidade da água.
5,50 5,30 5,47 5,10 5,29 5,65 5,55 5,61 5,75 5,63
5,27 5,44 5,57 5,36 4,88 5,86 5,34 5,39 5,34 5,53
5,29 4,07 5,85 5,46 5,42 5,79 5,62 5,58 5,26
A mediana da amostra seria melhor estimativa da densidade da Terra do que a média da amostra? Comente.
Esboce o gráfico da função dada.
Esboce o gráfico da função dada.