Expresse f(t) em termos da função degrau unitário uc(t).
f(t) = { 0, 0 <= t < 3, -2, 3 <= t < 5, 2, 5 <= t < 7, 1, t >= 7 }

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa reescrever a função f(t) usando a função degrau unitário, que é chamada de . Essa matéria é sobre funções definidas por partes e como usar o degrau unitário para representar mudanças abruptas na função. Para resolver isso, vamos precisar transformar cada intervalo onde f(t) muda de valor em expressões que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função degrau unitário . Ela vale 0 para e 1 para . Isso é super útil para “ligar” ou “desligar” partes da nossa função em pontos específicos no tempo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função f(t) que o exercício nos deu:
A função começa em 0, muda para -2 em t = 3, depois para 2 em t = 5 e finalmente para 1 em .

Passo 4

Vamos representar cada mudança usando a função degrau unitário. A primeira mudança acontece em t = 3. Para essa mudança de 0 para -2, usamos:
Isso significa que a partir de t = 3, vamos subtrair 2.

Passo 5

A próxima mudança é em t = 5, onde f(t) passa de -2 para 2. Isso é um aumento de 4 (porque 2 - (-2) = 4). Então, adicionamos:
Agora, temos que a partir de t = 5, a função aumenta em 4.

Passo 6

A última mudança é em , onde f(t) vai de 2 para 1. Isso é uma diminuição de 1 (porque 1 - 2 = -1). Então, subtraímos:
Com isso, a partir de , a função diminui em 1.

Resposta

Juntando tudo, a expressão de f(t) em termos da função degrau unitário fica:

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