Expresse em termos da função degrau unitário .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes em diferentes intervalos de tempo. A tarefa é reescrever essa função usando a função degrau unitário . Para isso, precisamos entender como a função degrau unitário funciona e como ela pode ser combinada para representar funções por partes.

Passo 2

A função degrau unitário é definida da seguinte maneira:
Essa função é útil para “ativar” ou “desativar” partes da função principal em pontos específicos, que neste caso são os valores de onde a definição de muda.

Passo 3

Vamos analisar a função dada:
Percebemos que a função alterna entre 1 e -1 a cada intervalo de 1 unidade de tempo, começando em até , e depois se torna 0 para .

Passo 4

Começamos com para . Podemos representar isso usando a função degrau unitário iniciando em :

Passo 5

Em , a função muda para . Para representar essa mudança, subtraímos :
Isso faz com que, a partir de , o valor de passe a ser .

Passo 6

Em , a função volta para . Adicionamos para refletir essa mudança:
Agora, para , o valor de é novamente.

Passo 7

Em , a função muda novamente para . Subtraímos :
Assim, para , o valor de é .

Passo 8

Finalmente, em , a função se torna . Para isso, adicionamos :
Dessa forma, para , todos os termos se cancelam e .

Resposta

A expressão de em termos da função degrau unitário é:
Onde representa a função degrau unitário deslocada para .

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Expresse em termos da função degrau unitário .