Expresse f(t) em termos da função degrau unitário uc(t).
f(t) = { 1, 0 <= t < 1; -1, 1 <= t < 2; 1, 2 <= t < 3; -1, 3 <= t < 4; 0, t >= 4 }

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função f(t) definida por partes em diferentes intervalos de tempo. A tarefa é reescrever essa função usando a função degrau unitário uc(t). Para isso, precisamos entender como a função degrau unitário funciona e como ela pode ser combinada para representar funções por partes.

Passo 2

A função degrau unitário uc(t) é definida da seguinte maneira:
Essa função é útil para “ativar” ou “desativar” partes da função principal em pontos específicos, que neste caso são os valores de t onde a definição de f(t) muda.

Passo 3

Vamos analisar a função f(t) dada:
Percebemos que a função alterna entre 1 e -1 a cada intervalo de 1 unidade de tempo, começando em t = 0 até t = 4, e depois se torna 0 para .

Passo 4

Começamos com para . Podemos representar isso usando a função degrau unitário iniciando em t = 0:

Passo 5

Em t = 1, a função muda para -1. Para representar essa mudança, subtraímos :
Isso faz com que, a partir de t = 1, o valor de f(t) passe a ser -1.

Passo 6

Em t = 2, a função volta para 1. Adicionamos para refletir essa mudança:
Agora, para , o valor de f(t) é 1 novamente.

Passo 7

Em t = 3, a função muda novamente para -1. Subtraímos :
Assim, para , o valor de f(t) é -1.

Passo 8

Finalmente, em t = 4, a função se torna 0. Para isso, adicionamos :
Dessa forma, para , todos os termos se cancelam e .

Resposta

A expressão de f(t) em termos da função degrau unitário uc(t) é:
Onde representa a função degrau unitário deslocada para .

Exercícios relacionados