Expresse
e
como transformações da função
e faça um esboço dos gráficos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente pegar as funções
e
e reescrever elas como transformações da função básica
. Além disso, precisamos fazer um esboço dos gráficos dessas funções. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria e entender como manipular as funções seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que é super útil nesse caso. Sabia que
e
podem ser expressos de outra forma usando a identidade:
Essas fórmulas vão nos ajudar a reescrever
e
como transformações de
e
.
Passo 3
Vamos aplicar essa identidade na função
:
Isso significa que
é basicamente uma versão de
que foi escalada e deslocada.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para a função
:
Aqui,
também é uma transformação de
, mas com um deslocamento diferente em relação a
.
Passo 5
Vamos resumir como essas transformações funcionam:
-
Amplitude: A amplitude é a altura máxima da onda. No caso de
, a amplitude é , pois o termo varia entre -1 e 1. -
Frequência: O argumento
dentro do cosseno indica que a frequência é o dobro da frequência da função original . -
Deslocamento Vertical: O termo
adiciona um deslocamento vertical, fazendo com que a média da função seja deslocada para cima em .
Passo 6
Agora, vamos fazer um esboço dos gráficos de
e
:
-
Gráfico de
: - A função oscila entre 0 e 1.
- Tem o dobro de ciclos de
ou . - O gráfico será uma onda de cosseno invertida, deslocada para cima.
-
Gráfico de
: - Também oscila entre 0 e 1.
- Tem a mesma frequência que
. - O gráfico será uma onda de cosseno padrão, deslocada para cima.
Resposta
As funções podem ser reescritas como:
Os gráficos de
e
são ondas de cosseno com amplitude
, frequência dobrada e deslocamento vertical de
.
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Para cada uma das funções definidas abaixo, faça uma tabela de valores e esboce o gráfico da função.
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Calcule os seguintes valores: