Expresse e como transformações da função e faça um esboço dos gráficos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente pegar as funções e e reescrever elas como transformações da função básica . Além disso, precisamos fazer um esboço dos gráficos dessas funções. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria e entender como manipular as funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que é super útil nesse caso. Sabia que e podem ser expressos de outra forma usando a identidade:
Essas fórmulas vão nos ajudar a reescrever e como transformações de e .

Passo 3

Vamos aplicar essa identidade na função :
Isso significa que é basicamente uma versão de que foi escalada e deslocada.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a função :
Aqui, também é uma transformação de , mas com um deslocamento diferente em relação a .

Passo 5

Vamos resumir como essas transformações funcionam:
  • Amplitude: A amplitude é a altura máxima da onda. No caso de , a amplitude é , pois o termo varia entre -1 e 1.
  • Frequência: O argumento dentro do cosseno indica que a frequência é o dobro da frequência da função original .
  • Deslocamento Vertical: O termo adiciona um deslocamento vertical, fazendo com que a média da função seja deslocada para cima em .

Passo 6

Agora, vamos fazer um esboço dos gráficos de e :
  1. Gráfico de :
    • A função oscila entre 0 e 1.
    • Tem o dobro de ciclos de ou .
    • O gráfico será uma onda de cosseno invertida, deslocada para cima.
  2. Gráfico de :
    • Também oscila entre 0 e 1.
    • Tem a mesma frequência que .
    • O gráfico será uma onda de cosseno padrão, deslocada para cima.

Resposta

As funções podem ser reescritas como:
Os gráficos de e são ondas de cosseno com amplitude , frequência dobrada e deslocamento vertical de .

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Para cada uma das funções definidas abaixo, faça uma tabela de valores e esboce o gráfico da função.
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Calcule os seguintes valores: